Астрономия 8-9 класс, муниципальный (второй) этап, г. Москва, 2016 год

Задание 4

Марс, находящийся в восточной квадратуре, и Луна наблюдаются в соединении. Какова фаза Луны в  этот момент? Ответ объясните,  приведите рисунок, на котором изобразите описываемую ситуацию.

 Ответ

На рисунке 4.1 показаны положения всех тел, участвующих в описываемой ситуации (такой рисунок должен быть приведён в работе: 3 балла). При таком положении Луны относительно Земли и Солнца будет наблюдаться первая четверть (растущая Луна) (2 балла).

Задание 5

С какой средней скоростью движется граница день/ночь по поверхности Луны (R = 1738 км) в районе её экватора? Ответ выразите в км/ч и округлите до целого.

 Ответ

Длина экватора Луны L = 2πR ≈ 2 × 1738 × 3,14 = 10 920,2 км (1 балл). Для решения задачи необходимо использовать величину синодического периода обращения, т.к. за движение границы день/ночь по поверхности Луны отвечает не только вращение Луны вокруг своей оси, но и положение Солнца относительно Луны, которое меняется вследствие движения Земли по своей орбите. Период смены лунных фаз P ≈ 29,5 сут. = 708 ч (2 балла  – если нет объяснения, почему использован именно этот период;  4 балла  – если  есть верное объяснение; за использование сидерического периода  1 балл). Значит, скорость будет V = L/P = 10 920,2/708 км/ч ≈ 15 км/ч (1 балл;  этот балл ставится за вычисление скорости, в том числе и при использовании значения 27,3 – ответ при этом будет 16,7 км/ч).

Максимум за задание – 6 баллов.

Задание 7

Люди запустили на низкую орбиту Луны (высота 50 км) станцию. С  каким интервалом времени мы будем её видеть то с одного края лунного  диска, то с другого? Масса Луны M = 7,35 × 10²² кг, радиус Луны R = 1738 км, гравитационная постоянная G = 6,67 × 10^-11 Н × м² / кг².

Ответ

Низкая орбита означает, что высотой можно пренебречь по сравнению с радиусом Луны. А значит, аппарат будет появляться рядом с лимбом дважды за период обращения вокруг Луны, через равные промежутки времени, по половине своего орбитального периода. Период лунной станции будет равен:

V_л – круговая скорость станции на окололунной орбите (т. е. первая космическая скорость для Луны).

1 вариант

Значит,

И период появления станции рядом с лимбом составит половину орбитального:

2 вариант

Можно не сразу подставлять численные значения в формулы, а преобразовать их, выразив период обращения через среднюю плотность Луны (величина плотности не дана в условии, но учащийся может её вычислить или знать – приближенное значение 3300 кг/м³):

И период появления станции рядом с лимбом составит половину орбитального:

3 вариант

Можно решать задачу, используя 3-й закон Кеплера (в обобщённом виде):

(здесь M – масса Солнца, m – масса спутника, Tз, mз и aз – период обращения Земли вокруг Солнца, масса Земли и радиус орбиты Земли соответственно). Возможна запись этого закона для другого набора тел, например для системы Земля – Луна (вместо системы Солнце – Земля).

Пренебрегая малыми массами по сравнению с большой, получим:

Отсюда искомый период будет равен:

И период появления станции рядом с лимбом составит половину орбитального:

Оценивание

Допустимы и другие способы решения. Все варианты решения должны приводить к одинаковым ответам (допустимы некоторые отклонения, связанные с тем, что в вариантах 2 и 3, а также в других вариантах могут использоваться несколько отличающиеся числовые значения).

Варианты 1  и 2. Определение длины орбиты спутника (2πRл  ≈ 10 920 км) – 1 балл; определение орбитальной скорости спутника Vл –  2 балла; вычисление периода обращения – 1 балл; нахождение ответа (деление орбитального периода на 2) – 2 балла.

Вариант 3. Запись 3-го закона Кеплера в уточнённой форме для участвующих в задаче тел –  2 балла (если закон записан в общем виде и на этом решение заканчивается – 1 балл). Корректное пренебрежение малыми массами (т. е. массой спутника по сравнению с массой Луны, массой Земли по сравнению  с массой Солнца, массой Луны по сравнению с массой Земли) – 1 балл  (эти массы могут быть сразу опущены в формуле, балл за это всё равно выставляется). Запись выражения для периода спутника  – 1 балл, нахождение ответа (деление орбитального периода на 2) – 2 балла.

За превышение точности в конечном ответе (число знаков после запятой больше двух) снимается 1 балл.

 Максимум за задание – 6 баллов.

Задание 8

Предположим, учёные создали неподвижный Большой полярный телескоп для наблюдения суточного вращения звёзд непосредственно вблизи полюса мира, направив его трубу точно на северный полюс мира. Точно в центре поля зрения они обнаружили Очень Интересный Внегалактический Источник. Поле зрения этого телескопа составляет 10 угловых минут. Через сколько лет  учёные не смогут больше наблюдать этот Источник с помощью этого телескопа?

 Ответ

Полюс мира вращается вокруг полюса эклиптики с периодом примерно Tp ≈ 26 000 лет (1 балл). Угловое расстояние между этими полюсами (2 балла) – не что иное, как ε ≈ 23,5° (т. е. 90°          –             угол наклона оси вращения Земли к плоскости эклиптики). Т. к. полюс мира движется по малому кругу небесной сферы, угловая скорость его движения относительно наблюдателя будет меньше угловой скорости вращения точки на небесном экваторе в 1/sin(ε) раз (2 балла).

Так как изначально телескоп смотрит точно на полюс мира и на Источник, максимально возможное время наблюдения Источника составит:

Спустя это время Источник выйдет из поля зрения телескопа (полюс мира
будет по-прежнему в центре поля, т. к. телескоп на Земле стоит неподвижно, будучи изначально направленным на полюс мира; напомним, что полюс мира по сути – точка пересечения продолжения оси вращения Земли с небесной сферой).

Если в конечном ответе учащийся не разделяет положения полюса мира и Источника, то при верном численном ответе выставляется не более 6 баллов.

 Максимум за задание – 8 баллов.