Олимпиадные задания с решениями

Физика 11 класс, муниципальный (второй) этап, г. Москва, 2016 год

Задача 1

Стоя  на  движущемся  вниз  эскалаторе,  мальчик  подбросил  монетку,  как  ему показалось,  вертикально  вверх,  и  через  τ = 1 с  поймал  её. Скорость  эскалатора V = 1 м/с,  а  угол  его  наклона  к  горизонту  α = 30⁰.  На  какое  максимальное расстояние  от  точки  бросания  удалялась  монетка?  В  течение  какого  времени монетка  поднималась  вверх  в  системе  отсчёта,  связанной  со  стенами  шахты эскалатора? Ускорение свободного падения можно считать равным 10 м/с2.

Возможное решение

Максимальное расстояние, на которое монетка удалялась от точки её бросания, проще всего искать в системе отсчёта, связанной с эскалатором. В этой системе отсчёта начальная скорость монетки направлена вертикально, следовательно,

Возможны  также  решения,  в  которых  ищется  максимальное  расстояние  от монетки до точки бросания (точка пространства) в системе отсчёта, связанной со стенами  шахты  эскалатора.  ТАКОЕ  РЕШЕНИЕ  ТОЖЕ  СЛЕДУЕТ  СЧИТАТЬ ПРАВИЛЬНЫМ. В этой системе отсчёта вертикальная составляющая начальной скорости монетки равна

(за положительное выбрано направление вверх), а горизонтальная составляющая начальной скорости монетки равна

ν2 =V∙cosα.

В момент максимального  удаления монетки  от  точки  броска,  вектор  смещения r должен  быть  перпендикулярен  вектору  скорости  монетки ν (это равносильно  тому,  что  в  данный момент  расстояние между монеткой и  точкой броска  не  уменьшается  и  не  увеличивается).  Пусть ν0 —  начальная  скорость монетки, тогда

Момент времени, когда векторы r и ν перпендикулярны, найдём из условия равенства нулю их скалярного произведения:

Проекция вектора ν0  на ось, направленную вертикально вверх, равна ν1, поэтому

По теореме Пифагора

Получаем уравнение на t

Аналогичное  уравнение  можно  получить  аналитически.  Расстояние  между монеткой и точкой броска будет меняться со временем по закону

Расстояние r будет максимально тогда, когда максимален квадрат расстояния r2. Продифференцировав выражение для r2 по времени, и приравняв производную к нулю,  получим  уравнение (такое  же,  как  и  из  условия  перпендикулярности векторов скорости и смещения)

решение  t = 0  соответствует  минимуму  функции  r2(t).  Поскольку  мы  ищем максимум, то уравнение можно сократить на  t. Получим квадратное уравнение

решив которое, найдём что расстояние максимально в момент времени

Второй  корень  квадратного  уравнения  рассматривать  не  нужно,  поскольку  он больше 1 с (то  есть  соответствует  моменту  времени  после  того,  как  мальчик поймал  монетку). Максимальное  расстояние  между  монеткой  и  точкой  броска

r(tm) ≈ 1,09 м.

Из  закона  сложения  скоростей  получаем,  что  в  системе  отсчёта,  связанной  со стенами  шахты  эскалатора,  вертикальная  составляющая  начальной  скорости монетки равна:  g(τ/2) – V∙sinα. Тогда

Ответ: t = 0,45 с

Критерии оценивания

Найдено  максимальное  расстояние  от  монетки  до  точки  её  бросания (либо  в системе отсчёта мальчика, либо в системе отсчёта стен шахты)  4 балла
Применён закон сложения скоростей  2 балла
Найдено время t  4 балла

Задача 2

Рисунок 2.1

Льдинка  с  вмороженным  в  неё  металлическим  слитком  подвешена  на  лёгкой  нити  и  частично  погружена  в  цилиндрический  стакан  с  водой  так, что лёд не касается  стенок  стакана.  Площадь  дна  стакана  S = 100 см2 .  Для  того,  чтобы  удержать льдинку в таком положении, нить перекидывают через  идеальный  блок,  к  оси  которого  прикладывают  вертикально  направленную  силу  F = 10 Н.  На  другой  конец  нити  вешают  подходящий  противовес. На  сколько  изменится  уровень  воды  в  стакане  после  того,  как  льдинка  растает?  Повысится  он  или  понизится?  Масса  слитка  m = 100 г,  плотность  металла  ρ = 10 000 кг/м3 ,  плотность  воды  ρ0 = 1000 кг/м3.  Ускорение свободного  падения  можно  считать  равным  g = 10  м/с 2 .  Противовес  после  таяния льда не падает в стакан.

Возможное решение

Рисунок 2.2

Рассмотрим  внешние  силы,  действующие  на  содержимое  стакана,  в  которое  включим  воду,  льдинку  и  слиток.  Сила  тяжести  компенсируется  двумя  направленными  вверх  внешними  силами  –  силой  натяжения  нити  F/2  и  силой  реакции дна стакана. Последняя, в свою очередь, равна по модулю силе давления  на  дно  со  стороны  жидкости.  Из  условия  равновесия  содержимого  стакана  в исходном состоянии следует:

где h1 – высота уровня воды в исходном состоянии.

После  таяния  льдинки масса  содержимого  сохраняется,  но  изменяется  уровень воды  в  стакане  и,  следовательно,  давление  воды  около  дна.  Кроме  этого,  на содержимое  перестаёт  действовать  сила  F/2,  но  на  дно  с  силой

начинает  действовать  слиток.  Новое  условие равновесия содержимого имеет вид:

S∙ρ0∙g∙h2 + N = mсодерж∙g

где h1 – высота уровня воды в исходном состоянии.

Вычитая  из первого  уравнения  второе, получим  выражение  для изменения уровня воды в стакане:

Так как эта величина положительная, то уровень воды в стакане повысится.

Критерии оценивания

Записано условие равновесия содержимого в исходном состоянии 2 балла
Записано условие равновесия содержимого в конечной ситуации 2 балла
Получено выражение для изменения уровня жидкости 2 балла
Получено численное значение для изменения уровня жидкости 2 балла
Явно указано, что уровень повысится 2 балла
(Если  задача  решалась  через  объём  погружённой  льдинки  и  изменение  объёмов при таянии, то за верное выражение для изменения уровня – 6 баллов.)

Задача 3

Один моль аргона участвует в процессе, в ходе которого теплоёмкость остаётся постоянной и равной C =10 Дж/К. При этом аргон увеличил свой объём, совершив работу  A = 40  Дж.  Найдите  изменение  температуры  аргона  и  подведённое к нему количество теплоты.

 Возможное решение

Запишем для данного процесса первое начало термодинамики:

т. е. газ охлаждался. Подведённое к газу количество теплоты равно:

Q = C∙∆T = – 162 Дж,

т. е. газ в данном процессе отдавал теплоту.

Критерии оценивания

Записано первое начало термодинамики  4 балла
Найдено изменение температуры газа  2 балла
Найдено количество теплоты  2 балла
Указано, что газ тепло отдавал (получен ответ со знаком минус)  2 балла

Задача 4

Электрическая цепь представляет собой проволочную сетку, состоящую из звеньев, имеющих одинаковые сопротивления R.

Одно  звено  заменено на вольтметр, сопротивление которого тоже  равно  R.  К  сетке  подключён  источник  напряжения U0 = 14 В  так,  как  показано  на  рисунке. Найдите  показание вольтметра.

Рисунок 4.1

Возможное решение

Изобразим  схематически  токи,  текущие  в  звеньях сетки, учитывая её симметрию и закон Ома для участка цепи.  Согласно  этому  закону,  силы  тока  в параллельных  звеньях,  находящихся  под  одинаковым  напряжением,  обратно  пропорциональны  сопротивлениям  этих звеньев.  При  изображении  токов  также  нужно учитывать закон сохранения электрического заряда для узлов  сетки –  сумма  токов,  втекающих  в узел, должна быть равна сумме токов, вытекающих из узла.

Рисунок 4.2

Точки  подключения  источника  напряжения  расположены  на  вертикальной  оси симметрии  сетки. Поэтому  токи,  текущие  налево  и  направо  от  оси  симметрии сетки, вытекающие из данного узла или втекающие в данный узел, должны быть одинаковыми. Обозначим токи, текущие налево и направо от верхнего среднего узла сетки, через  I. Тогда ток, втекающий в верхний средний узел, равен 2I. При обходе левой (и правой) верхней четверти сетки суммарное падение напряжения должно  быть  равно  нулю.  Следовательно,  токи,  текущие  налево  и  направо  от центрального узла сетки, одинаковы и равны 4I. Значит, токи, текущие вниз от левого среднего и от правого среднего узла сетки, равны 5I.

Выразим  напряжение  источника  U0  через  ток  I.  Для  того  чтобы  сделать  это, мысленно  сложим  схему  пополам  вдоль  вертикальной  оси  симметрии.  Тогда сопротивления всех звеньев, не лежащих на оси симметрии, уменьшатся в 2 раза, а  текущие  по  ним  токи  увеличатся  в 2  раза.  Суммарное  сопротивление  всех звеньев,  подключённых  к  источнику (за  исключением  звена,  находящегося непосредственно  между  клеммами  источника),  равно 7R/5.  Текущий  через  эти звенья  ток  равен 10I.  Поэтому  падение  напряжения  во  внешней  цепи  между клеммами источника равно U0 = 14IR. Отметим, что это заодно позволяет найти ток,  текущий  через  звено между  точками подключения источника напряжения.

Он равен 14 I и течёт от центрального узла сетки к нижнему среднему узлу.

Для вольтметра можно записать:  Uv = 4∙IR.

Отсюда Uv = 4∙U0 / 14 = 2∙U0 / 7 = 4В.

Ответ: Uv = 4В

Критерии оценивания

Установлено распределение токов в звеньях сетки  3 балла
Найдена  связь  между  током,  текущим  через  вольтметр,  и  токами  в  других частях цепи  1 балл
Установлена  связь между напряжением источника и  током,  текущим  в  какой-либо части цепи  2 балла
Установлена  связь  между  показанием  вольтметра  и  током,  текущим  через него  1 балл
Получено  выражение  для  связи  напряжения  источника  и  показания  вольтметра  2 балла
Получен численный ответ для показания вольтметра  1 балл

Задача 5

Электрическая цепь состоит из соединённых последовательно  идеального  источника  напряжения  с  ЭДС E = 12 В,  резистора,  разомкнутого  ключа и  заряженного до напряжения 2∙E конденсатора (полярность указана на схеме).  Ключ  замыкают.

Определите  напряжение  U  на конденсаторе  в  тот  момент,  когда  количество  теплоты,  выделившееся в резисторе, окажется в 3 раза меньше энергии, оставшейся в конденсаторе.

Возможное решение

Полярность  зарядки  конденсатора  всегда  останется  такой  же,  какой  она  была вначале.  Поскольку  исходное  напряжение  на  конденсаторе  превышает  ЭДС источника,  то  после  замыкания  ключа  ток  в  цепи  потечёт  против  часовой стрелки.  К  интересующему  нас  моменту  времени  заряд,  протекший  через источник (и подзарядивший его), равен  q = C∙(2E – U) . Запишем закон сохранения энергии  с  учётом  выделившегося  количества  теплоты  и  работы,  совершённой источником:

Отсюда,  с  учётом  того,  что

получим:

Ответ: U = 18 В

Критерии оценивания

Определена начальная энергия конденсатора  1 балл
Найден протёкший через источник заряд  1 балл
Найдена работа, совершённая источником  1 балл
Записан закон сохранения энергии  4 балла
Получено выражение для напряжения на конденсаторе  2 балла
Получено численное значение напряжения на конденсаторе  1 балл

Общие рекомендации по оцениванию работы

  • За каждое верно выполненное действие баллы складываются.
  • При  арифметической  ошибке (в  том  числе  ошибке  при  переводе  единиц измерения) оценка снижается на 1 балл.
  • Максимум за 1 задание – 10 баллов.
  • Всего за работу – 50 баллов.

Класс:  / Предмет:  / Этап:  / Год:  / Город:  / 

Рекомендуем ознакомиться: