Олимпиадные задания с решениями

Математика 4 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2016 год

Задание 1

(7 баллов) Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все семь цифр были различными: ** + ** = 175.

Возможные ответы

  • 92 + 83 = 175
  • 82 + 93 = 175
  • 93 + 82 = 175
  • 83 + 92 = 175

Дополнительных объяснений не требуется.

Критерии проверки

  • Приведён любой из возможных ответов — 7 баллов.
  • Приведён ответ, в котором какие-то две цифры совпадают, — 2 балла.

Задание 2

(7 баллов) В Солнечном городе меняют пряник на 6 сушек, а за 9 сушек дают 4 баранки. Сколько баранок дают за 3 пряника? Объясните свой ответ.

Ответ. 8.

Решение

Если  за  один  пряник  дают 6  сушек,  то  за 3  пряника  дадут 3 × 6 = 18  сушек.

18 сушек — это 2 раза по 9 сушек. Значит, за них дадут 2 раза по 4 баранки, т. е. 8 баранок.

Критерии проверки

  • Любое верное и обоснованное решение — 7 баллов.
  • Приведены верные  начальные  рассуждения,  а  далее  сделаны  неверные выводы или не сделано никаких выводов — 2 балла.
  • Решение полное, но допущена одна арифметическая ошибка — 2 балла.
  • Только верный ответ — 1 балл.

Задание 3

(7 баллов) Проведите два отрезка с концами на сторонах  треугольника  так, чтобы треугольник оказался разбит на два треугольника, один четырёхугольник и один пятиугольник.

Треугольник

Ответ

Ответ к заданию

Критерии проверки.

  • Любой верный ответ — 7 баллов.
  • Треугольник разбит  на  нужные  фигуры,  но  концы  изображённых отрезков не на сторонах треугольника — 4 балла.

Задание 4

(7 баллов) Чтобы добраться от ствола к любому листу дерева, изображённого на рисунке, нужно на каждой развилке повернуть  либо налево,  либо направо.

Например, для  того чтобы добраться до листа  с буквой А, нужно пройти  так: ппплп (буква п — это поворот на развилке вправо, буква л — поворот влево).

Рисунок к 4 заданию

  •  а) Напишите с помощью букв п и л путь к листу Б.
  • б) Дорисуйте на этом дереве ещё один лист так, чтобы на получившемся дереве был лист, соответствующий такому пути: пплплл. Напишите в листе, к которому ведет путь пплплл, букву В.

Решение и ответ.

  • а) лплп
  • б) см. рисунок

Решение и ответ

Критерии проверки.

  • Даны верные ответы на оба пункта задания — 7 баллов.
  • Дан верный ответ только на пункт б) — 5 баллов
  • Дан верный ответ только на пункт а) — 2 балла.

Задание 5

(7 баллов)  У Вани, Тани и Оли есть 12 одинаковых по форме шариков: несколько  жёлтых,  несколько  синих  и  несколько  красных.  Они  разложили шарики по 4 штуки в три одинаковых пакета.

Ваня сказал: «Смотрите, ни в одном пакете нет трёх одинаковых шариков!»

Таня сказала: «Верно. Но и трёх разных шариков тоже нет ни в одном пакете!»

Оля сказала: «И все пакеты получились разными!».

Все  трое были правы. Обязательно  ли  в  каком-то пакете  лежит два жёлтых и два красных шарика? Объясните подробно свой ответ.

Ответ. Да, обязательно.

Решение

В каждом пакете есть шарики разных цветов, иначе Ваня был бы не прав. Но шариков трёх разных цветов не может быть ни в одном пакете, иначе была бы не права Таня. Значит, в каждом пакете есть шарики ровно двух цветов: 2 шарика одного цвета и 2 шарика другого цвета (так как трёх шариков одного цвета  быть  не может). Все  пакеты  получились  разными,  поэтому  пара цветов в каждом  пакете  должна  отличаться  от  пары  цветов  в  другом  пакете.  Значит, в одном пакете было два жёлтых и два синих шарика, в другом — два синих и два красных шарика, а в третьем — два жёлтых и два красных шарика.

Критерии проверки

  • Любое верное и обоснованное решение — 7 баллов.
  • Приведён верный ответ, но обоснования не полны — 5 баллов.
  • Сказано без  обоснований,  что  в  каждом  пакете  по  два  шарика  разных цветов, и отсюда получен правильный ответ — 2 балла.
  • Приведён только ответ — 0 баллов.

Максимальный балл за все выполненные задания — 35.

Класс:  / Предмет:  / Этап:  / Год:  / Город:  / 

Рекомендуем ознакомиться: