Олимпиадные задания с решениями

Математика 5 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание

  1. Задание 1. (7 баллов)
  2. Задание 2. (7 баллов)
  3. Задание 3. (7 баллов)
  4. Задание 4 (7 баллов)
  5. Задание 5. (7 баллов)

Задание 1. (7 баллов)

Содержание ↑

К числу прибавили сумму его цифр и получили 2017. Приведите пример такого числа.

Примеры: 2012, 1994. Другие числа не подходят.

Критерии. Приведено любое из этих чисел: 7 баллов.

Приведено любое другое число: 0 баллов.

Задание 2. (7 баллов)

Содержание ↑

Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как ее зовут?

Ответ: Таня.

Могут получится и другие последовательности букв, но только одна из них является именем.

Критерии. Получено имя Таня: 7 баллов.

Получена любая другая последовательность букв: 0 баллов.

Задание 3. (7 баллов)

Содержание ↑

Продавец закупил партию ручек и продал их. При этом некоторые покупатели купили одну ручку за 10 рублей, а некоторые купили 3 ручки за 20 рублей. Оказалось, что с каждой покупки продавец получал одинаковую прибыль. Найдите цену, по которой продавец закупил ручки.

Ответ: 5 рублей.

Решение. Пусть закупочная цена ручки x. Тогда прибыль за одну ручку 10 x, за 3 ручки 20 3x. Решая уравнение 10 x = 20 3x, получаем x = 5.

Критерии. Верное решение любым способом: 7 баллов.

Не обосновывается, что закупочная цена ручки должна быть 5 рублей, но проверяется, что в этом случае условие выполняется: 4 балла.

Только правильный ответ без каких-либо пояснений: 2 балла.

Задание 4 (7 баллов)

Содержание ↑

Паучок-ученик натянул паутину между 11 точками так, чтобы его паутинки нигде не пересекались, и в конце вернулся в исходную точку. Паук-учитель его похвалил, и лишь заметил, что настоящие мастера соблюдают эти же условия, но натягивают «правильную» паутину, у которой никакие отрезки не лежат на одной прямой. Помогите паучку соединить все 11 точек на рисунке «правильной» паутиной.

 

Решение. Один из возможных способов приведен ниже.

Критерии. Любой верный пример: 7 баллов.

Пример, в котором некоторые отрезки лежат на одной прямой, но никакие соседние отрезки на одной прямой не лежат: 4 балла.

Пример, в котором есть соседние отрезки, лежащие на одной прямой: 0 баллов.

Задание 5. (7 баллов)

Содержание ↑

Квадратный оконный проем образован двумя прямоугольными рамами. Внутри каждой из них написали число, равное периметру рамы. Напишите, чему равна сторона квадрата всего оконного проема и объясните, как вы ее получили.

Ответ: 5.

Решение. Пусть сторона квадрата равна a, а ширина левого прямоугольника равна b. Тогда ширина правого прямоугольника равна a b.

Левый прямоугольник дает соотношение 2a + 2b = 14, а правый прямоугольник дает соотношение 2a+2a2b = 16. Сложив эти два соотношения друг с другом, получим 6a = 30, откуда a = 5.

Критерии. Верное решение любым способом: 7 баллов.

Логически верный ход решения, но из-за арифметической ошибки ответ неправильный: 3 балла.

Подобран пример, где прямоугольники действительно обладают нужным периметром, но не объяснено, как получены длины их сторон: 2 балла.

Только правильный ответ без пояснений: 1 балл.

Класс:  / Предмет:  / Этап:  / Год:  / Город:  / 

Рекомендуем ознакомиться: