Олимпиадные задания с решениями

Математика 7 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание

  1. Задание 1. (7 баллов)
  2. Задание 2. (7 баллов)
  3. Задание 3. (7 баллов)
  4. Задание 4. (7 баллов)
  5. Задание 5. (7 баллов)

Задание 1. (7 баллов)

Содержание ↑

Числитель и знаменатель дроби — положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной?

Ответ: да.

Решение. Например, . Есть и много других примеров.

Критерии. Любой правильный пример: 7 баллов.

Ответ без примера или неправильный ответ: 0 баллов.

Задание 2. (7 баллов)

Содержание ↑

Ребятам дали задания перевести скорость черепахи из сантиметров в секунду в метры в минуту. Маша получила ответ 25 м/мин, но при этом считала, что в метре 60 см, а в минуте 100 секунд. Помогите Маше найти правильный ответ.

Ответ: 9 м/мин.

Решение. Черепаха за одну Машину «минуту» преодолевает расстояние в 25 Машиных «метров», то есть за 100 секунд проползает 25 · 60 сантиметров. Тогда скорость черепахи равна (25·60)/100 = 15 см/сек. Значит, за 60 секунд черепаха проползет 15 · 60 сантиметров, то есть (15·60)/100  = 9 метров.

Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.

Правильно найдена скорость в сантиметрах в секунду, а последующая часть не сделана или сделана с ошибкой: 3 балла.

Только ответ без решения: 1 балл.

Задание 3. (7 баллов)

Содержание ↑

В некоторый момент времени Аня измерила угол между часовой и минутной стрелками своих часов. Ровно через один час она снова измерила угол между стрелками. Угол оказался таким же. Каким мог быть этот угол?

(Разберите все случаи.)

Ответ: 15° либо 165°.

Решение. Через 1 час минутная стрелка остается на своем месте. При этом часовая стрелка повернулась на 30°. Раз угол не изменился, то минутная стрелка делит пополам один из углов между положениями часовой стрелки (либо тот, который 30°, либо дополнительный угол в 330°).

Значит, либо часовая стрелка была на 15° раньше, либо на 165° позже.

Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.

Даны оба правильных ответа без обоснования или с неверным обоснованием: 3 балла.

Дан один из правильных ответов: 1 балл.

Задание 4. (7 баллов)

Содержание ↑

Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шёл с постоянной скоростью. Один шёл из A в B, другой — из B в A. Они встретились в полдень (т. е. ровно в 12 часов) и, не прекращая движения, пришли: один — в B в 4 часа вечера, а другой – в A в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

Ответ: в 6 утра.

Решение. Точку встречи обозначим за C. Пусть от рассвета до полудня прошло x часов.

Скорость первого пешехода на участке AC равна AC/x, на участке BC равна BC/4. Его скорость постоянна, и значит AC/x = BC/4 , что можно переписать в виде AC/BC = x/4 .

Аналогично для второго пешехода: равенство скоростей на участках BC, AC выльется в соотношение BC/x = AC/9  , которое мы перепишем в форме AC/BC 9x.

Получаем, что x/4 = 9/x , и по свойству пропорции x2 = 36, x = 6. Рассвет был на 6 часов раньше полудня, т. е. в 6 утра.

Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.

Правильно найден промежуток времени от рассвета до встречи, но время рассвета не найдено или найдено с ошибкой: 5 баллов.

Только ответ без решения: 1 балл.

Задание 5. (7 баллов)

Содержание ↑

Определите, в каком количестве точек пересекаются 10 прямых, если среди них есть только две параллельные и ровно три из этих прямых пересекаются в одной точке.

Ответ: 42.

Решение. Пронумеруем прямые так, чтобы именно прямые 1, 2 и 3 пересекались в одной точке (эту точку обозначим за X). Выпишем всевозможные пары прямых (1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, . . . , 8 и 9, 8 и 10, 9 и 10) и их точки пересечения. Всего пар прямых 45 (пар вида 1 и ` ровно 9, пар вида 2 и ` ровно 8 и так далее; 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45). По условию ровно две прямые параллельны. Значит, всего будет выписано 44 точки пересечения. При этом все точки пересечения прямых кроме X будут выписаны ровно по одному разу, а точка X появится трижды: для пар прямых 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3. Сотрем из списка точек пересечения две лишние буквы X. Останутся ровно 42 точки, и на этот раз все точки пересечения будут посчитаны ровно по одному разу.

Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.

Правильно посчитано число пар прямых и при этом дан правильный ответ: 2 балла.

Рассмотрены лишь частные случаи или приведен правильный ответ без объяснения: 1 балл.

Содержание ↑

Класс:  / Предмет:  / Этап:  / Год:  / Город:  / 

Рекомендуем ознакомиться: