Математика 8 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2012 год

Задание №1

Голова рыбы весит столько, сколько хвост и половина туловища,
туловище — столько, сколько голова и хвост вместе. Хвост весит 1 кг.
Сколько весит рыба?

Решение (вариант 1)

Туловище весит столько, сколько голова и хвост, т.е. два хвоста
и половина туловища. Значит, половина туловища весит как два хвоста,
т.е. туловище весит 4 кг. Тогда голова весит 1+2=3 кг, а вся рыба
4+3+1=8 кг.

Решение (вариант 2)

Обозначим Г, Т, Х – вес головы, туловища и хвоста
соответственно. Тогда по условию Г=Т/2+X, Т=Г+Х. Откуда Г=(Г+Х)/2+Х,
т.е. Г=3Х. Значит, рыба весит Г+Т+Х=3X+(3Х+Х)+Х=8Х=8 кг.

Ответ. 8 кг.

Задание №2

Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 555. Может ли
уменьшаемое быть целым числом? Если да, то приведите пример, если нет,
то объясните, почему.

Решение

Так как сумма вычитаемого и разности равна уменьшаемому, то
сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна удвоенному
уменьшаемому, т.е. уменьшаемое равно 555/2 – нецелое число.

Ответ. Нет.

Задание №3

В психиатрической больнице есть главный врач и много сумасшедших. В
течение недели каждый сумасшедший один раз в день кусал кого-нибудь
(возможно и себя). В конце недели оказалось, что у каждого из больных по
два укуса, а у главного врача – сто укусов. Сколько сумасшедших в
больнице?

Решение

Пусть в больнице n сумасшедших. Тогда в конце недели, с одной
стороны, было сделано 7n укусов, а с другой, 2n+100.Т.е.
7n=2n+100, откуда n=20.

Ответ. 20 сумасшедших.

Задание №4

Пятиугольная звезда ABCDE

В пятиугольной звезде, изображенной на рисунке, ∠ АСЕ =∠ АDB и ∠ DBЕ = ∠ BEC. Известно также, что BD = CE.
Докажите, что ∠ACD = ∠ADC.

Доказательство

Ответ к 4 заданию

Пусть АС и AD пересекают отрезок ВЕ в
точках K и M соответственно (см. рис.). Из условия задачи следует, что треугольники CEK и DBM равны по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, CK = DM и ∠СKЕ = ∠DMB. Тогда ∠AKЕ = ∠AMB (углы, смежные с равными). Получим, что в треугольнике AMK равны углы, прилежащие к стороне MK, поэтому этот треугольник – равнобедренный (AK = AM).
Следовательно, АС = AK + CK = AM + DM = AD, то есть треугольник АСD –
также равнобедренный (с основанием CD). Поэтому ∠ACD = ∠ADC, что и
требовалось доказать.

Задание №5

Дан числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. (Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым – одинаковые.) Найдите все его решения и докажите, что других нет.

Решение

Т.к. Г – результат переноса в следующий разряд, то Г =1. Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Значит, переноса в разряд десятков нет, т.е. Т+Т заканчивается на М, и значит, М четно. Переноса в разряд сотен тоже нет, т.к. иначе нечетное число Э+Э+1 заканчивалось бы на четное М. Т.к. переноса нет, то 2Т<10. Возможные варианты 2, 3, 4. Если Т=2, то Э=7, откуда Б=7 – но 7 уже занята. Если Т=3, то М=6, Э=8, откуда Б=6, но 6=М. И последний вариант Т=4. Тогда М=8, Э=9. Откуда Б=5 – противоречия нет. Таким образом, возможен только один вариант: 4940+5940=10880

Ответ. 4940+5940=10880

Задание №6

Прямоугольная доска

Прямоугольную доску покрасили в три цвета, как
показано на рисунке (угловую клетку покрасили в
первый цвет, две соседние с ней – во второй, три
соседние с только что покрашенными – в третий,
следующие соседние с уже покрашенными – снова в
первый и т.д.). Может ли для каких-нибудь размеров
доски случиться так, что клеток одного цвета будет на
две больше, чем какого-то другого?

Решение

Пусть размеры доски n×m. Будем отрезать от прямоугольника
части, в которых всех цветов поровну. При такой раскраске в любом
прямоугольнике 3×1 есть клетки всех цветов, значит в любой полоске 3k×1 всех
цветов поровну. Пусть n при делении на 3 дает остаток r: n=3t+r. Отрежем
от исходного прямоугольника кусок 3t×m – в этом куске всех цветов поровну.
Остался прямоугольник r×m. Пусть n при делении на 3 дает остаток q:
m=3s+q. Отрежем от оставшегося прямоугольника r×m кусок r×3s – в нем
всех цветов поровну. Остался прямоугольник r×q. Т.к. r и q – остатки при
делении на 3 (т.е. числа 0, 1,2), то всевозможные варианты для оставшегося
прямоугольника – это

1. ничего не осталось, т.е. в исходном прямоугольнике клеток всех цветов
   поровну.
2. остался прямоугольник 1×2. Т.к. в нем присутствуют два цвета, то в
   исходном прямоугольнике клеток какого-то одного цвета на одну меньше, чем
   клеток каждого из двух других цветов.
3. остался прямоугольник 2×2. При нашей раскраске в нем будет одна клетка
   какого-то одного цвета, две – другого и одна – третьего. Т.е. в исходном
   прямоугольнике клеток какого-то одного цвета на одну больше, чем клеток
   каждого из двух других цветов.

Итак, во всех возможных вариантах получается, что максимальный разрыв
между количеством клеток разных цветов равен 1.

Ответ. Нет.