Олимпиадные задания с решениями

Математика 8 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание

  1. Задание 1. (7 баллов)
  2. Задание 2. (7 баллов)
  3. Задание 3. (7 баллов)
  4. Задание 4. (7 баллов)
  5. Задание 5. (7 баллов)
  6. Задание 6. (7 баллов)

Задание 1. (7 баллов)

Содержание ↑

Представьте число 2017 в виде суммы пяти натуральных чисел так, чтобы все цифры, использованные в этих пяти числах, были различны.

Решение. Один из возможных примеров: 2017 = 1976 + 30 + 4 + 2 + 5. Есть и другие представления.

Критерии. Предъявлено хотя бы одно правильное представление, даже без каких-либо пояснений: 7 баллов.

Искомого представления не получено: 0 баллов.

Задание 2. (7 баллов)

Содержание ↑

В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

 

Ответ: 1.

Решение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX — биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;

XD = AD AX = 11 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5. Тогда XY = AD AY XD = 11 5 5 = 1.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Доказано, что AY = 5, но при этом длина отрезка XY не найдена или найдена неверно: 4 балла.

Доказано, что треугольник ABX равнобедренный и нет дальнейших продвижений: 2 балла.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Задание 3. (7 баллов)

Содержание ↑

Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвертого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?

Ответ: 20.

Решение. Пусть Ланселот не сразился с x рыцарями. Тогда общее число рыцарей равно 4x, а сразился Ланселот с 3x 1 рыцарем (общее количество за вычетом x и самого Ланселота). Тогда Тристан сразился с (3x1)/7 рыцарей. Чтобы найти наименьшее возможное количество рыцарей, необходимо подобрать минимальное x такое, что 3x1 делится на 7. Значения x = 1, 2, 3, 4 не подходят, а x = 5 подходит. Таким образом, наименьшее возможное число рыцарей равно 20.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

За отсутствие обоснования того, что действительно могло быть ровно 20 рыцарей, баллы не снимаются.

Приведён только верный ответ: 2 балла.

Задание 4. (7 баллов)

Содержание ↑

Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску 8 × 8. Лёня заметил, что в каждом квадрате 2 × 2 стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике 3 × 1 (или 1× 3) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)

Ответ: 0 или 64.

Решение. Предположим, что в каждом квадрате 2× 2 стоит m фигур, а в каждом прямоугольнике 1×3 — n фигур. Выделим из доски какой-нибудь прямоугольник 2 × 6. С одной стороны, этот прямоугольник можно разбить на три квадрата 2 × 2, и значит в нём 3m фигур. С другой стороны, его можно разрезать на четыре прямоугольника 1 × 3, и тогда в нём 4n фигур. Получаем соотношение 3m = 4n, откуда n делится на 3. Но n может принимать значения 0, 1, 2, 3. Таким образом, n = 0 или n = 3. Иными словами, либо все прямоугольники 1 × 3 пустые, и тогда на доске стоит 0 фигур, либо все прямоугольники 1 × 3 полностью заняты фигурами, и в этом случае на доске стоят 64 фигуры.

Критерии: Любое верное решение: 7 баллов.

Пропущен случай нуля фигур, в остальном решение верное: 6 баллов.

Доказано, что все прямоугольники 1 × 3 (или все квадраты 2 × 2) пустые или заполненные, но решение не завершено: 5 баллов.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Задание 5. (7 баллов)

Содержание ↑

Три школьницы зашли в магазин. Аня купила 2 ручки, 7 карандашей и 1 блокнот, Варя — 5 ручек, 6 карандашей и 5 блокнотов, Саша — 8 ручек, 4 карандаша и 9 блокнота. Все заплатили поровну, но одна при оплате воспользовалась скидкой. Кто? (Объясните свой ответ).

Ответ: Варя.

Решение. Обозначим символами Р, К, Б стоимости ручки, карандаша и блокнота соответственно. Обозначим также суммарную стоимость поку пок (без учёта скидки) Ани, Вари и Саши символами A, B, C. По условию,

A = 2Р + 7К + 1Б; B = 5Р + 6К + 5Б; C = 8Р + 4К + 9Б.

Сложим выражения для A и C и сравним результат с 2B:

A + C = 10Р + 11К + 10Б < 10Р + 12К + 10Б = 2B.

Получили, что A + C < 2B, откуда следует, что стоимость покупок Вари больше, чем стоимость покупок хотя бы одной из остальных девочек, а значит скидкой могла воспользоваться только Варя.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Рассмотрен только случай конкретных цен на ручки, карандаши и блокноты: 0 баллов.

Задание 6. (7 баллов)

Содержание ↑

В треугольнике ABC провели медиану AM. Найдите угол AMC, если углы BAC и BCA равны 45° и 30° соответственно.

Ответ: 135°.

Решение. Пусть BH — высота треугольника ABC. По условию угол BAC равен 45°, поэтому BH = AH. В треугольнике CBH катет BH лежит против угла 30°, поэтому BC = 2BH. Медиана HM прямоугольного треугольника BHC равна половине гипотенузы BC.

Собирая все равенства отрезков воедино, получаем

AH = BH = HM MB = MC.

Значит, треугольник MBH равносторонний, и угол CMH равен 120°. Кроме того, треугольник AHM равнобедренный, его угол AHM равен 90° + 60° = 150°, поэтому угол AMH равен 15°. Таким образом,

AMC = ∠AMH + ∠HMC = 120° + 15° = 135°.

Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.

Доказано, что треугольник AHM равнобедренный, но правильный ответ не получен: 5 баллов.

Приведён только верный ответ: 1 балл.

Содержание ↑

Класс:  / Предмет:  / Этап:  / Год:  / Город:  / 

Рекомендуем ознакомиться: