Олимпиадные задания

Математика 5 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2016 год

Задание 1

(7 баллов) Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все семь цифр были различными: *** – ** = 23.

Возможные ответы.

Дополнительных объяснений не требуется.

Критерии проверки.

Задание 2

(7 баллов) Петя  в  три  раза  старше  Ани,  а  Аня  на 8  лет  младше  Пети. Определите, сколько лет каждому. Ответ обоснуйте.

Ответ. Пете 12 лет, Ане 4 года.

Решение

Возраст Пети в три раза больше возраста Ани. Это  значит, что разница возрастов Пети и Ани составляет два возраста Ани, а по условию эта разница равна восьми годам. Значит, возраст Ани в два раза меньше: 8 : 2 = 4 года.

Петя в три раза старше, то есть ему 4 × 3 = 12 лет.

Возможно также решение с помощью уравнения.

Критерии проверки.

Задание 3

(7 баллов) На рисунке два треугольника разделяют листок бумаги на 6 частей (шестая часть — это  то,  что  останется  на  листе,  если  вырезать  оба треугольника).  Нарисуйте  два  четырёхугольника,  которые  разделяют  лист бумаги на 9 частей. Пронумеруйте полученные части.

Два треугольника

Ответ

Ответ к 3 заданию

Пояснений не требуется.

Критерии проверки.

Задание 4

(7 баллов) В мешке лежат 15 шариков (см. рисунок). Раскрасьте каждый шарик в один из трёх цветов: синий, зелёный или красный — так, чтобы два утверждения были верны, а одно неверно:

Напишите подробно, как вы рассуждали.

Рисунок к 4 заданию

Ответ

Рисунок с ответом к 4 заданию

7 синих шариков, 6 красных шариков, 2 зелёных шарика.

Решение

Докажем,  что  второе  утверждение  не  может  быть  верным.

Действительно, пусть верны первое и второе утверждения. Тогда если забрать один синий шарик, то шариков всех цветов должно остаться поровну.

Но 15 – 1 = 14  шариков  не  делятся  поровну  на 3  цвета.  Пусть  теперь  верны второе  и  третье  утверждения.  Тогда  если  забрать 5  синих шариков,  то  опять шариков всех цветов должно остаться поровну.

Но 15 – 5 = 10 шариков не делятся поровну на 3 цвета.

Таким образом, могут оказаться верными только первое и третье утверждения.

Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ

Если в мешок положить 1 красный шарик, то синих и красных станет  поровну,  а  если  положить  ещё  и 5  зелёных,  то  количество  шариков каждого  цвета  будет  одинаковым,  а  именно  будет  по (15 + 1 + 5) : 3 = 7 шариков каждого цвета.

Теперь  можно  посчитать,  сколько  шариков  каждого  цвета  было  в  мешке:

7 синих шариков, 7 – 1 = 6 красных шариков и 7 – 5 = 2 зелёных шарика.

Второй способ

Из верных утверждений 1 и 3 следует, что зелёных шариков на 4 меньше, чем красных. Уберём из мешка 5 синих шариков и 4 красных шарика, тогда количество шариков каждого цвета будет одинаковым, а именно будет по (15 – 5 – 4) : 3 = 2  шарика  каждого  цвета.  Таким  образом  есть  в  мешке  было 2 зелёных, 6 красных и 7 синих шариков.

Возможно также решение с помощью уравнения.

Критерии проверки

Задание 5

(7 баллов) Четыре девочки поют  песни,  аккомпанируя  друг  другу. Каждый раз  одна  из  них  играет  на  фортепиано,  а  остальные  три  поют.  Вечером  они посчитали, что Аня спела 8 песен, Таня — 6 песен, Оля — 3 песни, а Катя — 7 песен. Сколько раз аккомпанировала Таня? Обоснуйте свой ответ.

Ответ. Два раза.

Решение

Если  сложить указанные количества  спетых песен,  то каждая песня будет учтена 3 раза (от лица каждой из трёх поющих девочек). Таким образом, можно узнать, сколько всего песен было спето: (8 + 6 + 3 + 7) : 3 = 8. Известно, что Таня спела 6 из 8 песен, значит, аккомпанировала она 8 – 6 = 2 раза.

Критерии проверки

 Максимальный балл за все выполненные задания — 35.