Математика 10 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2016 год

Задание 1

На листе бумаги построили параболу – график функции y=ax²+bx+c при a>0, b>0 и c>0, – а оси координат стёрли. Как они могли располагаться? (Изобразите любой пример, соответствующий указанным знакам коэффициентов, не изменяя положения самой параболы.)

Ответ: см. рис. 10.1.

Решение

Так как a>0, то ветви параболы “раскрыты” вдоль положительного направления оси ординат. Так как c>0, то точка пересечения графика с осью ординат имеет отрицательную ординату. Так как –b/2a<0, то вершина параболы находится в полуплоскости x<0.

Критерии проверки

• “+” –  приведен верный рисунок без пояснений, либо верный рисунок с верными пояснениями
• “±” – приведен верный рисунок, к которому даны пояснения, содержащие ошибки
• “±” –  приведен верный рисунок без пояснений, либо верный рисунок с верными пояснениями, но на нем изменена ориентация системы координат (поворот от луча  OX  к лучу  OY осуществляется по часовой стрелке)
• “ ” – приведен верный рисунок, но изменено положение параболы (она перевернута)
• “ ” – рисунок неверен, но правильно направлена ось ординат
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 2

Сумма двух целых чисел равна  S . Маша умножила левое число на целое число  a , правое – на целое  число  b , сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на  S . Алёша, наоборот,  левое число умножил на  b , а правое – на  a . Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на  S .

Решение

Пусть  x  – левое число, а  y  – правое; по условию: x+y=S. Тогда у Маши получилось  число  ax+by, а у Алёши  –  число  bx+ay. Сумма этих чисел равна ax+by+bx+ay=(a+b)(x+y)=(a+b)S, то есть она делится на S . Так как одно из двух слагаемых  (число Маши) делится на S, то и другое (число Алеши) делится на  S , что и требовалось.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности
• “–” – рассмотрены только частные случаи или конкретные примеры
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 3

В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на  левую чашу и любые три на правую,  левая чаша перевесит. Три слона встали на левую чашу и два  – на  правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?

Ответ: обязательно.

Решение

Первый способ

Пусть три слона встали на левую чашу весов, а два – на правую, и при этом  левая чаша не перевесила правую. Попросим тогда самого лёгкого из пяти слонов, не стоящих на весах,  встать на левую чашу, а самого тяжёлого – на правую. В этом случае левая чаша по-прежнему не сможет  перевешивать правую, что противоречит условию. Следовательно, левая чаша обязательно перевесит.

Второй способ

Запишем массы слонов в порядке возрастания: m1 ≤ m2 ≤ … ≤ m10. По условию: m1 + m2  + m3 + m4 > m8 + m9 + m10. Так как m4 ≤ m8, то m1 + m2 + m3 > m9 + m10.   Таким образом, три самых лёгких слона тяжелее двух самых тяжёлых, следовательно, любые три  слона тяжелее любых двух из оставшихся.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение (любым способом)
• “±” – приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности
• “–” – рассмотрены только частные случаи или конкретные примеры
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 4

Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и  радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC,  если AB = c, AM = m и AN = n.

∙Ответ: mc/n.

Решение

Докажем, что  АМ∙АВ  =  AN∙AC.  Это можно сделать по-разному.

Первый способ

В прямоугольных треугольниках  ADB и ADC проведём высоты DP и DQ соответственно (см. рис. 10.4а). Тогда АР∙АВ = AD2 = AQ∙AC. Так как треугольники ADM и ADN – равнобедренные, то АР = 12AM и АQ = 12AN.

Заменив АР и АQ в равенстве АР∙АВ = AQ∙AC, получим требуемое.

Второй способ

Докажем, что четырёхугольник BMNC – вписанный, тогда требуемое равенство будет следовать из теоремы об отрезках секущих, применённой к точке  А  и окружности, описанной вокруг четырёхугольника  BMNC  (см. рис. 10.4б).

Пусть  ∠ANM  =  α, тогда  ∠AОM  =  2α  (вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, из равнобедренного треугольника ADM: ∠MAD = 90° – α, поэтому ∠АВС = α.  Из равенства ∠АВС = ∠ANM следует, что BMNC – вписанный.

После того, как доказано указанное равенство, достаточно подставить в него данные из условия задачи и получить ответ.

Третий способ

Пусть данная окружность пересекает отрезки BD и СD в точках K и L соответственно, а ее радиус равен  R  (см. рис. 10.4в).  Тогда по теореме об отрезках секущих: ВА∙ВМ = BL∙BK, то есть c(c – m) = BK(BK + 2R). Из треугольника ABD по теореме Пифагора: с2 = (BK + R)2 + R2 = 2R2 + BK2 +2BK∙R. Следовательно, c(c – m) = с2 – 2R2, откуда c∙m = 2R2.

Проведя аналогичное рассуждение для стороны  AC,получим, что АС∙n = 2R2. Тогда АС = mcn.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” –  приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности (например, перепутаны m и n)
• “±”– план решения верный и получен верный ответ, но не доказаны какие-то из используемых фактов (например, использовано, но не доказано, что четырехугольник BMNC – вписанный)
• “±” – план решения верный, но само решение содержит ошибки, либо не доведено до конца
• “±” –  нет четкого  плана решения, но обоснованы какие-то существенные факты, из которых можно получить решение
• “–” – приведен только ответ
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 5

Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?

Ответ:  всегда.

Решение

Заметим, что если Вася сумеет сложить треугольник из рёбер, выходящих из одной вершины тетраэдра, то второй треугольник уже сложен, и задача решена.

Пусть АВ – самое длинное ребро тетраэдра DABC (см. рис. 10.5).

Предположим, что ни из тройки рёбер с общей вершиной А, ни из тройки рёбер  с общей вершиной  В, Вася не может сложить треугольник. Это означает, что АВ ≥ AC + AD и АВ ≥ BC + BD. Тогда 2АВ ≥ AC + AD + BC + BD.

C другой стороны, по неравенству треугольника для граней ABD и ABC, получим: АВ < AD + BD и АВ < AC + BC. Тогда 2АВ < AC + AD + BC + BD – противоречие.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “ ” – присутствует верная идея решения, но оно не доведено до конца или допущена ошибка
• “–” – разобраны только какие-то частные случаи (например, рассмотрен правильный тетраэдр)
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 6

100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный.

Ваши глаза завязаны, и Вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но Вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках было поровну.

Решение

Сначала переложим все фонарики в правую коробку,  не трогая выключатели. Далее переложим из правой коробки в левую любые сто фонариков, переключая при этом каждый, и цель будет достигнута. Докажем это.

При перекладывании (с переключением) одного фонарика разность между количествами горящих фонариков справа и слева уменьшается на 1. Действительно, если мы взяли фонарик, который не горел, зажгли его и переложили налево, то справа количество горящих фонариков не изменилось, а слева оно увеличилось на 1. Если же мы взяли горящий фонарик, погасили его и переложили налево, то справа количество горящих уменьшилось на 1, а слева оно осталось прежним. В тот момент, когда все фонарики находились в правой коробке, рассматриваемая разность равна 100, значит, после ста перекладываний она станет равной нулю, что и требуется.

Существуют и другие алгоритмы действий.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведен верный алгоритм, но его обоснование неполно (например, сказано, что разность горящих фонариков будет уменьшаться на 1, но не объяснено, почему
• “±” – приведен только верный алгоритм без всяких объяснений
• “–” – задача не решена или решена неверно