Математика

Сборник олимпиадных заданий (задач) с ответами, решениями и критериями оценивания по математике для 4-11 классов. Данные задачи рекомендованы для подготовки к участию в предметных олимпиадах по математике всех этапов (муниципальному, заключительному, окружному, региональный, школьному), поступлению в ВУЗы и конечно же для всех любителей математики и желающих в ней разобраться ;)

     

Математика 11 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 1 Содержание ↑ Графики функций y = ax2 , y = bx и y = c пересекаются в точке, расположенной выше оси абсцисс. Определите, сколько корней может иметь уравнение ax2 + bx + c = 0 . Ответ: корней нет. Решение. Из […]

Математика 10 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 1 Содержание ↑ 33 богатыря выходят в дозор 33 дня. В первый день должен выйти один богатырь, во второй – два, в третий – три, и так далее, в последний день – все богатыри. Сможет ли дядька Черномор организовать дозоры так, чтобы все […]

Математика 9 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 1 Содержание ↑ Игорь сложил десять подряд идущих натуральных чисел, затем разделил полученную сумму на сумму следующих десяти натуральных чисел. Могло ли у него получится число 0,8? Ответ: не могло. Решение. Предположим, что при делении получилось 0,8. Обозначим наименьшее число первой суммы […]

Математика 8 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6 Задание 1 Содержание ↑ Из 1812 одинаковых квадратов со стороной 1 мм сделали прямоугольную рамку для групповой фотографии (см. рисунок, границы фотографии совпадают с внутренними границами рамки). Потом фотографию разрезали по линии миллиметровой сетки на две прямоугольные части. Теперь понадобилось две рамки, на […]

Математика 7 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 1 Содержание ↑ Начертите четыре луча ОА, ОВ, ОС и OD с общим началом так, чтобы на этом чертеже нашлись углы в 100°, 110°, 120°, 130° и 140°. Запишите, какие именно углы имеют указанные величины. Ответ: ∠АОD = 100°, ∠АОС = 110°, ∠АОВ = […]

Математика 11 класс, школьный этап (I этап), 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1. (7 баллов) Задание 2. (7 баллов) Задание 3. (7 баллов) Задание 4. (7 баллов) Задание 5. (7 баллов) Задание 6. (7 баллов) Задание 1. (7 баллов) Содержание ↑ В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на 3, вторую — на 2, третью — на 1. В итоге число увеличилось в 4 раза. […]

Математика 10 класс, школьный этап (I этап), 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1. (7 баллов) Задание 2. (7 баллов) Задание 3. (7 баллов) Задание 4. (7 баллов) Задание 5. (7 баллов) Задание 6. (7 баллов) Задание 1. (7 баллов) Содержание ↑ Замок Персиваля имел квадратную форму. Однажды Персиваль решил расширить свои владения и добавил к замку квадратную пристройку. В результате периметр замка увеличился на 10%. На […]

Математика 9 класс, школьный этап (I этап), 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1. (7 баллов) Задание 2. (7 баллов) Задание 3. (7 баллов) Задание 4. (7 баллов) Задание 5. (7 баллов) Задание 6. (7 баллов) Задание 1. (7 баллов) Содержание ↑ 45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей. Сколько конфет можно купить на 50 рублей? Ответ: 75 конфет. Решение. Пусть […]

Математика 8 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1. (7 баллов) Задание 2. (7 баллов) Задание 3. (7 баллов) Задание 4. (7 баллов) Задание 5. (7 баллов) Задание 6. (7 баллов) Задание 1. (7 баллов) Содержание ↑ Представьте число 2017 в виде суммы пяти натуральных чисел так, чтобы все цифры, использованные в этих пяти числах, были различны. Решение. Один из возможных примеров: […]

Математика 7 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1. (7 баллов) Задание 2. (7 баллов) Задание 3. (7 баллов) Задание 4. (7 баллов) Задание 5. (7 баллов) Задание 1. (7 баллов) Содержание ↑ Числитель и знаменатель дроби — положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной? Ответ: да. Решение. Например, . Есть […]

Математика 6 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1. (7 баллов) Задание 2. (7 баллов) Задание 3. (7 баллов) Задание 4. (7 баллов) Задание 5. (7 баллов) Задание 1. (7 баллов) Содержание ↑ В доме на всех этажах во всех подъездах равное количество квартир (больше одной). Также во всех подъездах поровну этажей. При этом количество этажей больше количества квартир на этаже, но […]

Математика 5 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1. (7 баллов) Задание 2. (7 баллов) Задание 3. (7 баллов) Задание 4 (7 баллов) Задание 5. (7 баллов) Задание 1. (7 баллов) Содержание ↑ К числу прибавили сумму его цифр и получили 2017. Приведите пример такого числа. Примеры: 2012, 1994. Другие числа не подходят. Критерии. Приведено любое из этих чисел: 7 баллов. Приведено […]

Математика 4 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2017-2018 учебный год

Содержание Задание 1 (7 баллов) Задание 2 (7 баллов) Задание 3 (7 баллов) Задание 4 (7 баллов) Задание 5. (7 баллов)   Задание 1 (7 баллов) Содержание ↑ Расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство: 90 — 72 : 6 + 3 = 82 . Решение: 90 — 72 : (6 + 3) = 82. Критерии. […]

Математика 11 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2016 год

Задание 1 Имеет ли отрицательные корни уравнение x4-4×3-6×2-3x+9=0? Ответ: нет. Решение Преобразуем данное уравнение: x4-4×3-6×2-3x+9=0 ⇔ (x2-3)2 -4×3-3x=0, (x2-3)2 = 4×3+3x ⇔ (x2-3)2 = x(4×2+3). Если x<0, то (x2-3)2 ≥ 0, а x(4×2+3)<0, значит, полученное равенство при любом отрицательном значении x будет неверным. Следовательно, отрицательных корней нет. Критерии проверки “+” – приведено полное обоснованное решение “±” –  […]

Математика 10 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2016 год

Задание 1 На листе бумаги построили параболу – график функции y=ax2+bx+c при a>0, b>0 и c>0, – а оси координат стёрли. Как они могли располагаться? (Изобразите любой пример, соответствующий указанным знакам коэффициентов, не изменяя положения самой параболы.) Ответ: см. рис. 10.1. Решение Так как a>0, то ветви параболы “раскрыты” вдоль положительного направления оси ординат. Так […]

Загрузить ещё