Задание №1
Решите уравнение 1 – (2 – (3 – (…2010 – (2011 – (2012 – x))…))) = 1006.
Решение
Открыв скобки, получим 1 – 2 + 3 – 4 + … +2011 – 2012 + x =
1006; -1006 + x = 1006; x=2012.
Ответ. x=2012
Задание №2
Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части.
Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину
средней части.
Решение
Расстояние между серединами крайних частей складывается из
половин крайних участков и целого среднего участка, т.е. удвоенное это
число равно длине дороги плюс длина среднего участка. Т.о. длина среднего
участка = 16*2-28=4.
Ответ. 4 км.
Задание №3
Один из углов трапеции равен 60°. Найдите отношение её оснований, если
известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой
трапеции можно описать окружность.
Решение
Трапеция ABCD
Так как АВСD вписанная, то она равнобедренная, т.е. АВ=СD. Так как ∠ВАD=60°, то ∠АВС=120°. Центр вписанной окружности лежит в точке O пересечения биссектрис BK и AO углов BAD и AВC. Т.к. ∠ABK=60°=∠BAK, то треугольник АВK – равносторонний, значит, биссектриса АO является медианой в этом треугольнике. Биссектриса ОL угла ВСD также проходит через точку О. А так как О – середина ВК, то OL – средняя линия треугольника ABK (проходит через середину ВK и параллельно АВ), cследовательно АL=LK. Аналогично LK=KD. Треугольники BCO и LKO – правильные (углы по 60°) и их стороны равны (BO=OK), следовательно ВС=LK=AL=KD, т.е. 3ВС=AD.
Ответ. 1:3
Задание №4
Решите числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. (Разные буквы – разные
цифры.)
Решение
Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Т.к. Г – результат переноса в следующий разряд, то Г =1. Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Значит переноса в разряд десятков нет, т.е. Т+Т заканчивается на М, и значит М – четно. Переноса в разряд сотен тоже нет, т.к. иначе нечетное число Э+Э+1 заканчивалось бы на четное М. Т.к. переноса нет, то 2ТБ<10. Возможные варианты 2, 3, 4. Если Т=2, то Э=7, откуда Б=7 – но 7 уже занята. Если Т=3, то М=6, Э=8, откуда Б=6, но 6=М. И последний вариант Т=4. Тогда М=8, Э=9. Откуда Б=5 – противоречия нет. Таким образом, возможен только один вариант: 4940+5940=10880
Ответ. 4940+5940=10880
Задание №5
Существует ли натуральное n такое, что число n2012 – 1 является какой-либо степенью двойки?
Решение
Преобразуем: n2012 – 1 = (n1006)2 – 1 = (n1006– 1)(n1006 +1).
Предположим, что данное число является степенью двойки, тогда каждый из двух полученных множителей также является степенью двойки, причем эти множители отличаются на 2. Это возможно только в одном случае, если n1006 – 1 = 2, а n1006 + 1 = 4, но таких натуральных n не существует.
Ответ. Нет, не существует.
Задание №6
В пять 15-литровых ведер налито соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 литров воды. Разрешается утроить количество воды в любом сосуде, налив в него воду из какого-нибудь одного другого (если воды не хватает, чтобы утроить количество, то наливать из этого ведра нельзя). Какое наибольшее количество воды можно такими действиями собрать в одном ведре?
Решение:
Вариант А) Покажем, как собрать в одном из ведер 9 литров: 1, 2, 3, 4, 5 => 1, 6, 3, 0, 5 => 1, 0, 9, 0, 5.
Вариант Б) Покажем, как собрать в одном из ведер 12 литров: 1, 2, 3, 4, 5 => 1, 6, 3, 4, 1 => 1, 0, 9, 4, 1 => 1, 0, 1, 12, 1
В любом случае, требуется доказать, что это максимальное число (что нельзя получить БОЛЬШЕЕ)
Пусть максимальное число литров равно n>=9.
Рассмотрим последнюю операцию с этим ведром (хотя бы одна операция была — иначе n<=5).
Т.к. n – максимальное число литров, то последней операцией не могли отливать из этого ведра (т.к. иначе до этого там было еще больше), т.е. в него наливали, поэтому n кратно 3.
Во всех ведрах в сумме 15 литров.
Заметим, что после каждого шага есть непустое ведро, количество литров в котором кратно трём. (*)
Предположим, что n=15. Тогда на предыдущем шаге было ровно два непустых ведра, в одном из которых 5, а в другом 10 литров.
Но ни одно из этих чисел не кратно 3. Противоречие с (*)
Вариант А) Предположим, что n=12. Тогда на предыдущем шаге должно было быть два непустых ведра: 4 и 8 литров.
Тогда, в силу условия (*), оставшиеся 3 литра должны были быть в одном ведре.
Но тогда еще на шаг раньше количество воды в ведрах должно было быть 1, 2, 4, 8, что противоречит условию (*).
Тем самым n=9, пример как получить 9 литров приведен выше.
Вариант Б) Тем самым n=12, пример как получить 12 литров приведен выше.
Ответ
Ответ зависит от понимания условия — можно ли отливать НЕ всё содержимое ведра (по сути — можно ли отмерить ОДИН ЛИТР воды)
- А) Если нельзя, то ответ 9 литров
- Б) Если можно, то ответ 12 литров