Задание №1
Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.
Решение
Расстояние между серединами крайних частей складывается из половин крайних участков и целого среднего участка, т.е. удвоенное это число равно длине дороги плюс длина среднего участка. Т.о. длина среднего участка = 16*2-28=4.
Ответ. 4 км.
Задание №2
На координатной плоскости (x, y) изобразите множество всех точек, для которых y2 − y = x2 − x.
Решение
y2 − y = x2 − x ⇔ y2 − x2=y − x (y − x)( y +x)= y − x ⇔ y=x или y + x=1
Ответ.
Ответ для задания №2
Задание №3
Один из углов трапеции равен 60o. Найдите отношение её оснований, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.
Решение
Трапеция ABCD
Так как АВСD вписанная, то она равнобедренная, т.е. АВ=СD. Так как ∠ВАD=60°, то ∠АВС=120°. Центр вписанной окружности лежит в точке O пересечения биссектрис BK и AO углов BAD и AВC. Т.к. ∠ABK=60°=∠BAK, то треугольник АВK – равносторонний, значит, биссектриса АO является медианой в этом треугольнике. Биссектриса ОL угла ВСD также проходит через точку О. А так как О – середина ВК, то OL – средняя линия треугольника ABK (проходит через середину ВK и параллельно АВ), следовательно АL=LK. Аналогично LK=KD. Треугольники BCO и LKO – правильные (углы по 60°) и их стороны равны (BO=OK), следовательно ВС=LK=AL=KD, т.е. 3ВС=AD.
Ответ. 1:3
Задание №4
Существует ли натуральное n такое, что число n2012 – 1 является какой-либо степенью двойки?
Решение
Преобразуем: n2012 – 1 = (n1006)2 – 1 = (n1006– 1)(n1006 +1).
Предположим, что данное число является степенью двойки, тогда каждый из двух полученных множителей также является степенью двойки, причем эти множители отличаются на 2. Это возможно только в одном случае, если n1006 – 1 = 2, а n1006 + 1 = 4, но таких натуральных n не существует.
Ответ. Нет, не существует.
Задание №5
Решите систему уравнений: Система уравнений
Решение
Из первого уравнения x,y оба положительны или оба отрицательны. Но из второго уравнения x+y>=1, поэтому они оба положительны. Тогда, применив неравенство о средних и использовав первое уравнение системы, получим:
x + y >=2√xy = 2. Так как для любого z ∈ R cos2z >= 0, то из второго уравнения следует, что x + y = 2 и cos z = 0.
Откуда x = y = 1; z = π/ 2 +π n, где n ∈ Z .
Замечание. Можно было не использовать неравенство о средних, а заменить во втором уравнении 2 на 2xy (это можно сделать, т.к. xy=1), перенести в другую часть и выделить полный квадрат.
Ответ: x = y = 1; z = π/ 2 +π n, где n ∈ Z .
Задание №6
Можно ли сложить сплошную стенку, имеющую форму параллелепипеда с размерами 27 × 16 × 15, а) из кирпичей размером 3 × 5 × 7; б) из кирпичей размером 2 × 5 × 6, если ломать кирпичи нельзя, но можно поворачивать?
Решение
а) Заметим, что объем одного кирпича 3*5*7 кратен 7. Из таких кирпичей можно сложить только стенку, объем которой кратен 7. А у нас объем стенки не кратен 7. б) Предположим, что выложить можно. Посмотрим на грань стенки размера 27×15. На ней видны следы кирпичей 2 × 5 × 6, т.е. прямоугольники 2 × 5, 5 × 6, 2 × 6 в зависимости от того, какой стороной кирпич примыкает к грани. Таким образом, прямоугольник 27×15 нечетной площади должен быть замощен прямоугольниками 2 × 5, 5 × 6, 2 × 6, площадь каждого из которых четна, – противоречие.
Ответ. а) нет; б) нет.