Математика 11 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2016 год

Задание 1

(7 баллов) Во время распродажи Пётр купил брюки с 40 %-ной скидкой и рубашку с 20 %-ной скидкой. На следующий день Иван купил такие же брюки и рубашку без скидок. Мог ли Иван заплатить в полтора раза больше, чем Пётр?

Ответ обоснуйте.

Ответ. Мог.

Решение

Пусть брюки без скидки стоят х рублей, а рубашка без скидки стоит у рублей.  Тогда  Пётр  заплатил 0,6х + 0,8у  рублей,  а  Иван  х +  у  рублей.

Получаем  уравнение 1,5· (0,6х + 0,8у) =  х +  у,  откуда  х =  2у. Таким  образом, если брюки стоят в два раза больше рубашки, то Иван заплатил в полтора раза больше Петра.

Полным  решением  является  также  предъявление  конкретной  цены  брюк  и рубашки (например, 2000 руб. и 1000 руб.) с обоснованием того, что при такой цене  условие  задачи  выполнено (в  данном  случае  Пётр  заплатил 2000  руб., а Иван — 3000 руб.).

Критерии проверки

• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Приведён верный  пример  возможной  цены  брюк  и  рубашки,  но обоснование отсутствует — 4 балла.
• Верно составлено  уравнение 1,5· (0,6х + 0,8у) =  х +  у,  но  дальнейших продвижений нет (или они ошибочны) — 2 балла.
• Приведён только ответ — 0 баллов.

Задание 2

(7 баллов) Приведите пример числа  x, для которого выполняется равенство

sin2017x – tg2016x = cos2015x.

 Ответ обоснуйте.

Ответ. Например, π/4

Решение

Так как 2016 π/4 = 504 π = 252∙2 π кратно периоду, имеем

Рисунок 1

Критерии проверки

• Приведён верный  ответ, и показано,  что при  этом  значении  х  равенство верно, — 7 баллов.
• Приведён только верный ответ — 3 балла.

Задание 3

(7 баллов) Рубик сделал развертку куба размером 3 × 3 × 3 и отметил на ней две точки – см. рисунок.

Каково  будет  расстояние  между  этими  точками после того, как Рубик склеит из развёртки куб?

Ответ. 2√3 .

Решение

Изобразим готовый кубик (изображение выбрано так, чтобы
выделенная грань развёртки оказалась сверху). Данные точки — это две
противоположные вершины кубика 2 × 2 × 2. А в кубе 2 × 2 × 2 диагональ
имеет длину 2√3.

Критерии проверки

• Верное решение (достаточно  верной  картинки  и  объяснения,  как  именно ищется расстояние между точками) — 7 баллов.
• Картинка изображена  верно (возможно  не  с  того  ракурса,  что  в  приведённом решении), но дальше расстояние найдено неверно — 3 балла.
• Приведён только верный ответ — 0 баллов.
• Допущена ошибка  при  определении местонахождения  точек  на  кубе — 0 баллов.

Задание 4

(7  баллов)  Существуют  ли  такие  три  действительных  числа,  что  если  их поставить  в одном порядке  в  качестве  коэффициентов  квадратного  трёхчлена, то  он  будет  иметь  два  различных  положительных  корня,  а  если  в  другом порядке, то два различных отрицательных корня?

Ответ. Нет.

Решение

Пусть у трёхчлена ax²+bx+c два отрицательных корня x₁ и x₂. Тогда b/a = –(x₁+x₂) > 0 и с/a = x₁x₂ > 0, то есть числа b и c того же знака, что и число a. Допустим, как-то переставив коэффициенты, мы получили уравнение с двумя положительными корнями. Но тогда частное от деления коэффициента при x на коэффициент  при  x²  должно  было  бы  стать  отрицательным,  а  частное  от деления двух чисел одного знака положительно. Противоречие.

Критерии проверки

• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Решение, основанное на неполном переборе  возможных  знаков  коэффициентов, — 2 балла.
• Приведено несколько конкретных числовых примеров коэффициентов, и сделан правильный вывод — 1 балл.
• Ответ «нет» без обоснования — 0 баллов.

Задание 5

(7 баллов) Из  середины  каждой  стороны  остроугольного  треугольника площади  S  проведены  перпендикуляры  к  двум  другим  сторонам.  Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.

Ответ: S/2

Решение

1. Обозначим вершины  исходного  треугольника  буквами  X,  Y,  Z,  середины сторон —  буквами  А,  В,  С,  точки  пересечения  перпендикуляров —  K,  L,  Площадь искомого шестиугольника равна сумме площадей треугольника АВС и трёх маленьких треугольников, примыкающих к его сторонам: AKB, BLC, CNA.
2. Так как  средние  линии  треугольника  XYZ  разбивают  его  на 4  равных треугольника, площадь треугольника АВС равна S/4
3. Проведём в треугольнике ABC отрезки высот до точки их пересечения H. Так как средняя  линия  BA  параллельна  стороне  YZ,  проведённые  к  ним перпендикуляры  СН  и  АN  также  параллельны.  Рассуждая  аналогично,  получаем, что АН||СN, и, значит, АНСN — параллелограмм.
4. Диагональ АС разбивает параллелограмм АНСN на два равных треугольника, следовательно, площади треугольников АНС и АNС равны. Точно так же равны площади треугольников АНВ и АКВ и площади треугольников СНВ и CLВ.
5. Отсюда получаем,  что  искомая  площадь  в  два  раза  больше  площади треугольника АВС и равна  S/2

Критерии проверки

• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Равенство всех  нужных  фигур (и  площадей)  доказано,  но  площадь  не найдена — 4 балла.
• Приведено верное  разбиение  шестиугольника  на  части,  но  равенство фигур  никак  не  обосновывается,  а  только  утверждается,  и  получен  верный ответ — 3 балла.
• Ответ S/2 без обоснования — 1 балл.

Задание 6

(7 баллов) Если на доске записано число A, к нему можно прибавить любой его делитель, отличный от 1 и самого A. Можно ли из A = 4 получить 1234321?

Ответ. Можно.

Решение.  Прибавить  к  числу  его  делитель  n —  это  значит  к  числу  вида  kn добавить n. Получится число вида (k+1)n.

Заметим, что число 1234321 делится на 11. Тогда к числу А = 4 = 2·2 будем добавлять 2 до тех пор, пока не получим число 2 · 11:  2 · 2 → 2 · 3 → 2 · 4 → 2 · 5 → … → 2 · 11.  А  затем  будем добавлять 11:  2 · 11 → 3 · 11 → 4 · 11 → 5 · 11 → … →112211 · 11 = 1234321.

Критерии проверки

• Любой верный алгоритм получения числа — 7 баллов.
• Есть идея,  как  получить  число,  кратное  собственному  делителю  числа 1234321, — 3 балла.
• Ответ «да» без обоснования — 0 баллов.

Максимальный балл за все выполненные задания — 42.