Содержание
- Задание 1. (7 баллов)
- Задание 2. (7 баллов)
- Задание 3. (7 баллов)
- Задание 4. (7 баллов)
- Задание 5. (7 баллов)
Задание 1. (7 баллов)
Числитель и знаменатель дроби — положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной?
Ответ: да.
Решение. Например,
. Есть и много других примеров.Критерии. Любой правильный пример: 7 баллов.
Ответ без примера или неправильный ответ: 0 баллов.
Задание 2. (7 баллов)
Ребятам дали задания перевести скорость черепахи из сантиметров в секунду в метры в минуту. Маша получила ответ 25 м/мин, но при этом считала, что в метре 60 см, а в минуте 100 секунд. Помогите Маше найти правильный ответ.
Ответ: 9 м/мин.
Решение. Черепаха за одну Машину «минуту» преодолевает расстояние в 25 Машиных «метров», то есть за 100 секунд проползает 25 · 60 сантиметров. Тогда скорость черепахи равна (25·60)/100 = 15 см/сек. Значит, за 60 секунд черепаха проползет 15 · 60 сантиметров, то есть (15·60)/100 = 9 метров.
Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.
Правильно найдена скорость в сантиметрах в секунду, а последующая часть не сделана или сделана с ошибкой: 3 балла.
Только ответ без решения: 1 балл.
Задание 3. (7 баллов)
В некоторый момент времени Аня измерила угол между часовой и минутной стрелками своих часов. Ровно через один час она снова измерила угол между стрелками. Угол оказался таким же. Каким мог быть этот угол?
(Разберите все случаи.)
Ответ: 15° либо 165°.
Решение. Через 1 час минутная стрелка остается на своем месте. При этом часовая стрелка повернулась на 30°. Раз угол не изменился, то минутная стрелка делит пополам один из углов между положениями часовой стрелки (либо тот, который 30°, либо дополнительный угол в 330°).
Значит, либо часовая стрелка была на 15° раньше, либо на 165° позже.
Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.
Даны оба правильных ответа без обоснования или с неверным обоснованием: 3 балла.
Дан один из правильных ответов: 1 балл.
Задание 4. (7 баллов)
Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шёл с постоянной скоростью. Один шёл из A в B, другой — из B в A. Они встретились в полдень (т. е. ровно в 12 часов) и, не прекращая движения, пришли: один — в B в 4 часа вечера, а другой – в A в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?
Ответ: в 6 утра.
Решение. Точку встречи обозначим за C. Пусть от рассвета до полудня прошло x часов.
Скорость первого пешехода на участке AC равна AC/x, на участке BC равна BC/4. Его скорость постоянна, и значит AC/x = BC/4 , что можно переписать в виде AC/BC = x/4 .
Аналогично для второго пешехода: равенство скоростей на участках BC, AC выльется в соотношение BC/x = AC/9 , которое мы перепишем в форме AC/BC = 9x.
Получаем, что x/4 = 9/x , и по свойству пропорции x2 = 36, x = 6. Рассвет был на 6 часов раньше полудня, т. е. в 6 утра.
Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.
Правильно найден промежуток времени от рассвета до встречи, но время рассвета не найдено или найдено с ошибкой: 5 баллов.
Только ответ без решения: 1 балл.
Задание 5. (7 баллов)
Определите, в каком количестве точек пересекаются 10 прямых, если среди них есть только две параллельные и ровно три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Ответ: 42.
Решение. Пронумеруем прямые так, чтобы именно прямые 1, 2 и 3 пересекались в одной точке (эту точку обозначим за X). Выпишем всевозможные пары прямых (1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, . . . , 8 и 9, 8 и 10, 9 и 10) и их точки пересечения. Всего пар прямых 45 (пар вида 1 и ` ровно 9, пар вида 2 и ` ровно 8 и так далее; 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45). По условию ровно две прямые параллельны. Значит, всего будет выписано 44 точки пересечения. При этом все точки пересечения прямых кроме X будут выписаны ровно по одному разу, а точка X появится трижды: для пар прямых 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3. Сотрем из списка точек пересечения две лишние буквы X. Останутся ровно 42 точки, и на этот раз все точки пересечения будут посчитаны ровно по одному разу.
Критерии. Любое правильное решение: 7 баллов.
Правильно посчитано число пар прямых и при этом дан правильный ответ: 2 балла.
Рассмотрены лишь частные случаи или приведен правильный ответ без объяснения: 1 балл.