Математика 8 класс, муниципальный этап (2 этап), г. Москва, 2016 год

Задание 1

Последняя цифра в записи натурального числа в 2016 раз меньше самого числа. Найдите все такие числа.

Ответ: 4032, 8064, 12096, 16128.

Решение. Пусть x – последняя цифра числа. Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Число 2016x  должно оканчиваться на цифру х. Следовательно,  x  –  четная цифра, причем x ≠ 0. Проверкой убеждаемся, что значения x, равные 2, 4, 6 и 8 удовлетворяют условию.

Второй способ. Пусть искомые числа имеют вид ax = 10a ≠x, где a – некоторое натуральное число.

Тогда x a  10a+x = 2016x ⇔ 2a = 403x. Так как 2 и 403 взаимно простые числа, то a делится на 403, а x делится на 2. Подставляя, например, в полученное равенство значения x, равные 2, 4, 6 и 8, находим соответствующие значения a и получаем ответ.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение (любым из способов, независимо от его рациональности)
• “±” – приведен только полностью верный ответ
• “ ” – приведено верное рассуждение, но в ответе пропущено какое-то одно из чисел
• “–” – в ответе верно приведено не более двух чисел
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 2

Расставьте в левой части равенства

знаки арифметических операций и скобки так, чтобы равенство стало верным для всех а, отличных от нуля.

Ответ: например, так:

Существуют и другие примеры.

Критерии проверки

• “+” – приведена любая верная расстановка знаков и скобок
• “–” – задача не решена или решена неверно

 Задание 3

Точки пересечения графиков четырех функций, заданных формулами y = kx + b, y = kx – b, y = mx + b и y = mx – b, являются вершинами четырехугольника. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Ответ: (0; 0).

Решение

Графики данных линейных функций – это две пары параллельных прямых, так как равны угловые коэффициенты у первой и второй прямой и угловые коэффициенты у третьей и четвертой прямой.

Значит, точки пересечения графиков являются вершинами параллелограмма. Две противоположные вершины этого параллелограмма – это М(0; b) и N(0; –b). Так как диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам, то искомая точка – середина отрезка MN, то есть точка (0; 0).

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности
• “ ” – приведен только верный ответ
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 4

В классе учатся 30 человек: отличники, троечники и двоечники. Отличники на все вопросы отвечают правильно, двоечники всегда ошибаются, а троечники на заданные им вопросы строго по очереди то отвечают верно, то ошибаются. Всем ученикам было задано по три вопроса: “Ты отличник?”, “Ты троечник?”,

“Ты двоечник?”. Ответили “Да” на первый вопрос  –  19 учащихся, на  второй  –  12, на третий  –  9. Сколько троечников учится в этом классе?

Ответ: 20 троечников

Решение. Пусть a – количество отличников, b – количество двоечников, c – количество троечников, которые ошиблись в ответе на первый вопрос, правильно ответили на второй и ошиблись в ответе на третий (назовем таких троечников троечниками первого типа), а  d  –  количество троечников, которые правильно ответили на первый вопрос, ошиблись в ответе на второй и правильно ответили на третий (назовем таких троечников троечниками второго типа).

На первый вопрос ответили “Да” отличники, двоечники и троечники первого типа, следовательно, a + b + c = 19. На второй вопрос  “Да” ответили двоечники и троечники первого типа, то есть b + c = 12. На третий вопрос “Да” ответили только троечники первого типа, то есть c = 9. Тогда из второго уравнения получим, что b = 3, а из первого уравнения: a = 7. В классе – 30 учащихся, значит d = 30 – 19 = 11, поэтому всего троечников: 9 + 11 = 20.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности
• “ ” –  в приведенных рассуждениях указано, что троечники бывают двух типов,  но дальнейших продвижений нет или допущена вычислительная ошибка.
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 5

В прямоугольнике ABCD на диагонали AC отмечена точка K так, что CK = BC. На стороне ВС отмечена точка М так, что КМ = СМ. Докажите, что АK + ВМ = СМ.

Решение

На продолжении стороны  BC  за точку  В  отметим такую точку Е, что BЕ = AK, тогда CЕ = СB + BЕ = СK + KА = СА (см. рис. 8.5).

В треугольниках  ЕKC  и  ABC: CЕ  = CA, CK  = CB, угол  ECA  – общий, значит, эти треугольники равны. Следовательно, ∠ЕKC = ∠ABC = 90°.

Пусть ∠KCM = ∠MKC = α, тогда ∠MKE = 90° – α = ∠MEK, значит, МЕ = MK = МС.

Таким образом, АK + ВМ = ВЕ + ВМ = МЕ = СМ, что и требовалось.

Сделав такое же дополнительное построение, можно вместо равенства треугольников EKC и АВС доказывать равенство треугольников KBE и BKA, используя равнобедренность треугольника BCK.

Существуют и другие способы решения.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности
• “–” – задача не решена или решена неверно

Задание 6

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?

Ответ: 44.

Решение

Найдем количество натуральных чисел, квадраты которых не больше, чем 2016. Таких чисел – 44, так как 44² = 1936 < 2016, а 45² = 2025 > 2016. Так как произведение двух точных квадратов является точным квадратом, то числа  1 = 1², 4 = 2², …, 1936 = 44² могут быть отмечены.

Докажем, что большее количество чисел отметить невозможно. Действительно, рассмотрим искомый набор чисел и разделим каждое из чисел этого набора на наибольший точный квадрат, на который оно делится. Получим новый набор чисел, причем в разложение каждого из получившихся чисел на простые множители эти множители могут входить только в первой степени. Заметим, что каждый простой множитель (если он есть) должен присутствовать во всех разложениях, так как при перемножении любых двух чисел полученного набора он должен оказаться в четной степени. Это означает, что после деления каждого числа искомого набора на наибольшие квадраты должно получиться одно и то же число q. Если q = 1, то получим набор из 44 чисел, которые сами являются точными квадратами (см. выше), а если q > 1, то получим набор из меньшего количества чисел, поскольку 1936q > 2016.

Критерии проверки

• “+” – приведено полное обоснованное решение
• “±” – приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности
• “ ” – приведены только верный ответ и верный пример
• “–” – приведен только ответ
• “–” – задача не решена или решена неверно