Олимпиадные задания с решениями

Физика 11 класс, школьный (первый) этап, г. Москва, 2016 год

Задача 1

На фотографии показана роторная карусель, представляющая собой цилиндрический барабан, вращающийся вокруг вертикальной оси с частотой  ν = 33 оборота в минуту.  Люди, которые первоначально стоят прислонившись спинами к внутренней вертикальной стенке барабана, движутся с центростремительным ускорением  3g (g = 10 м/с2). В результате этого они «прилипают» к стенке барабана. Для пущего эффекта в некоторый момент пол автоматически опускается. Считая людей достаточно худыми, оцените радиус барабана этой карусели, а также минимальный коэффициент трения между людьми и стенкой барабана карусели, достаточный для того, чтобы люди не скользили вниз.

Возможное решение

Будем считать, что люди являются достаточно худыми, и для того  чтобы сделать нужные оценки, пренебрежём их толщиной. Тогда из формулы для центростремительного ускорения, полагая его модуль равным 3g, получаем:

3g = ω2 ∙R = 4∙π2∙ν2∙R, где ω = 2∙π∙ν.

Отсюда

R = 3∙g/4∙π2∙ν2 ≅ 2,5 м.

Для ответа на второй вопрос запишем второй закон Ньютона для движения человека по окружности в проекции  на вертикальную ось и на радиальное направление (m – масса человека,  N – сила реакции стенки барабана,  Fтр. – модуль силы трения): m∙g = Fтр., 3∙m∙g = N.

Учтём, что если коэффициент трения минимален, то Fтр. =  µ∙N. Тогда из записанных уравнений находим: µ = 1/3.

Критерии оценивания

Записана формула для центростремительного ускорения  1 балл
Выражен радиус барабана  1 балл
Частота обращения выражена в единицах СИ  1 балл
Найдено численное значение радиуса барабана  1 балл
Записан второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление  2 балла
Записан второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось  2 балла
Выражен коэффициент трения и найдено его численное значение  2 балла

Задача 2

В вертикальном цилиндрическом сосуде, частично заполненном тетрахлорметаном, имеющим плотность 1600 кг/м3 и не  смешивающимся с водой, плавает кусок льда массой 1 кг. Как и на сколько изменится высота уровня тетрахлорметана после того, как весь лёд растает? Площадь дна сосуда 200 см2.

Возможное решение

Пусть h1– начальная высота уровня тетрахлорметана. Тогда давление на дно сосуда равно

ρT∙g∙h1,

где ρT  –  плотность тетрахлорметана.

После таяния льда давление на дно сосуда равно:

ρT ∙g∙h2 + ρ∙g∙H = ρT∙g∙h2 + m∙g/S,

где  h2  – конечная высота столба тетрахлорметана,  ρ – плотность воды,  H – высота столба воды. Масса содержимого сосуда не изменилась, следовательно, давление на дно в начальном и конечном состоянии равно, то есть:

Таким образом, высота уровня тетрахлорметана понизится на ∆h = 3,125 см.

 Критерии оценивания

Использована идея о равенстве давлений/сил давления у дна сосуда 2 балла
Записаны формулы для давлений на дно до и после таяния льда (по 2 балла)  4 балла
Давление воды выражено через её массу  1 балл
Получено выражение для изменения высоты уровня тетрахлорметана  2 балла
Найдено численное значение изменения высоты уровня тетрахлорметана и сделан вывод о его понижении  1 балл

Задача 3

На графиках приведены зависимости от времени  t давления  p и объёма  V одного моля одноатомного идеального газа. Определите, как со временем изменялась теплоёмкость данного количества газа. Постройте график зависимости этой теплоёмкости от времени.

Графики зависимости теплоёмкости от времени

Возможное решение

В течение первых 15 минут зависимость давления газа от его объёма имеет вид

Пусть в некоторый произвольный момент времени (в интервале от 0 мин. до 15 мин.) давление газа равно  p1, а занимаемый им объём равен V1. Запишем для процесса перехода из состояния (p0, V0) в состояние (p1, V1) первое начало термодинамики:

Здесь C – теплоёмкость одного моля газа в рассматриваемом процессе, ∆T  – изменение температуры газа, ∆A – работа, которую совершает газ. Она численно равна площади фигуры под графиком зависимости  p(V), и эта фигура – трапеция.

Перепишем последнее выражение, воспользовавшись уравнением состояния p∙V = R∙T для одного моля идеального газа:

или

Учтем, что 

Тогда

откуда следует

то есть C = 2∙R.

Заметим, что давление p1 и объём V1, взятые в произвольный момент времени, при проведении выкладок сокращаются. Это справедливо, в том числе и для двух произвольных состояний газа, разделённых очень малым промежутком времени. Это доказывает, что теплоёмкость в рассматриваемом процессе является постоянной величиной, то есть она будет равна 2∙R в любой момент в течение первых 15 минут.

По истечении первых пятнадцати минут процесс становится изобарическим.

Следовательно, при этом C = 5/2∙R.

Соответствующий график зависимости теплоёмкости одного моля одноатомного идеального газа от времени изображён на рисунке.

График зависимости теплоёмкости одного моля одноатомного идеального газа от времени

Критерии оценивания

Получена зависимость давления от объёма для первого процесса 1 балл
Записано первое начало термодинамики для изменения температуры  газа при переходе в произвольное промежуточное состояние (в интервале от 0 мин. до 15 мин.) 1 балл
Записано выражение для работы газа при переходе в промежуточное состояние 1 балл
Найдена теплоёмкость в первом процессе и доказано, что она является постоянной величиной (если нет обоснования постоянства теплоёмкости, то за этот пункт ставится 2 балла)  3 балла
Указано, что второй процесс изобарический 1 балл
Указана теплоёмкость во втором процессе 1 балл
Построен график, на котором указаны характерные значения 2 балла

Задача 4

В точку А поместили первый точечный заряд, и он создал в точке В потенциал 2 В. Затем первый заряд убрали, и в точку В поместили второй точечный заряд. Он создал в точке  А потенциал 9 В. Далее первый заряд вернули обратно в точку А. С какой силой взаимодействуют эти заряды?

Возможное решение

Пусть модули зарядов, которые помещали в точки  A и  B, равны  q1 и  q2 соответственно, а расстояние между ними равно  R. Записывая формулы для потенциалов, создаваемых точечными зарядами в точках B и A, получим:

Согласно закону Кулона, искомая сила взаимодействия зарядов равна:

С учётом записанных выражений для потенциалов получим:

Ответ: F = 2 нН

Критерии оценивания

Записаны формулы для потенциалов точечных зарядов (по 2 балла)  4 балла
Записан закон Кулона  2 балла
Получено выражение для силы взаимодействия зарядов  2 балла
Найдено численное значение силы  2 балла

Задача 5

Определите показание идеального амперметра в цепи, схема которой приведена на рисунке (Рис. 5.1).

Рис. 5.1

Зависимость силы тока I, протекающего через диод Д, от напряжения U на нём описывается выражением: I = α∙U2, где  α = 0,02 А/В2. ЭДС источника  E = 50 В. Внутреннее сопротивление источника напряжения и резистора равны r = 1 Ом и R = 19 Ом, соответственно.

Возможное решение

Запишем закон Ома для участка цепи, включающего в себя резистор, источник напряжения и амперметр:

I(R + r) = E – U,

где I – сила тока, текущего через диод (и через амперметр), U – напряжение на диоде.

Используя вольт-амперную характеристику диода, получаем:

Решая квадратное уравнение, находим:

Второй корень квадратного уравнения, соответствующий знаку «+»  перед квадратным корнем (3,125 А), не является корнем исходного уравнения. Это можно установить либо при помощи непосредственной подстановки в указанное исходное уравнение, либо заметив, что сила тока, протекающего через амперметр в данной цепи, не может превышать

Imax = E/(R+r) = 2,5 А.

Решение задачи выглядит несколько проще, если сразу подставлять в получаемые уравнения числа. Например, перепишем закон Ома в виде:

α∙U2(R +r) = E – U

Корень этого уравнения соответствует пересечению параболы

y1(U) = α∙U2(R + r) = 0,4∙U2

и графика линейной функции

y2(U) = E – U = 50 – U.

Пересечение происходит в точке с абсциссой U0 = 10 В (это можно установить либо аналитически, решив соответствующее квадратное уравнение,  либо графически). При таком напряжении на диоде сила текущего через  него тока равна:

Ответ: I0 = 2A

Критерии оценивания

Записан закон Ома для участка цепи (или для полной цепи)  2 балла
Получено квадратное уравнение относительно силы тока или напряжения  2 балла
Получено решение квадратного уравнения (любым способом) и, при необходимости, обоснованно исключён лишний корень  4 балла
Найдено численное значение силы тока  2 балла

Общие рекомендации по оцениванию работы

  • За каждое верно выполненное действие баллы складываются.
  • При  арифметической  ошибке (в  том  числе  ошибке  при  переводе  единиц измерения) оценка снижается на 1 балл.
  • Максимум за 1 задание – 10 баллов.
  • Всего за работу – 50 баллов.

Класс:  / Предмет:  / Этап:  / Год:  / Город:  / 

Рекомендуем ознакомиться: