Физика 11 класс, муниципальный (второй) этап, г. Москва, 2016 год

Задача 1

Стоя  на  движущемся  вниз  эскалаторе,  мальчик  подбросил  монетку,  как  ему показалось,  вертикально  вверх,  и  через  τ = 1 с  поймал  её. Скорость  эскалатора V = 1 м/с,  а  угол  его  наклона  к  горизонту  α = 30⁰.  На  какое  максимальное расстояние  от  точки  бросания  удалялась  монетка?  В  течение  какого  времени монетка  поднималась  вверх  в  системе  отсчёта,  связанной  со  стенами  шахты эскалатора? Ускорение свободного падения можно считать равным 10 м/с².

Возможное решение

Максимальное расстояние, на которое монетка удалялась от точки её бросания, проще всего искать в системе отсчёта, связанной с эскалатором. В этой системе отсчёта начальная скорость монетки направлена вертикально, следовательно,

f1.1

Возможны  также  решения,  в  которых  ищется  максимальное  расстояние  от монетки до точки бросания (точка пространства) в системе отсчёта, связанной со стенами  шахты  эскалатора.  ТАКОЕ  РЕШЕНИЕ  ТОЖЕ  СЛЕДУЕТ  СЧИТАТЬ ПРАВИЛЬНЫМ. В этой системе отсчёта вертикальная составляющая начальной скорости монетки равна

f1.2

(за положительное выбрано направление вверх), а горизонтальная составляющая начальной скорости монетки равна

ν₂ =V∙cosα.

В момент максимального  удаления монетки  от  точки  броска,  вектор  смещения r должен  быть  перпендикулярен  вектору  скорости  монетки ν (это равносильно  тому,  что  в  данный момент  расстояние между монеткой и  точкой броска  не  уменьшается  и  не  увеличивается).  Пусть ν₀ —  начальная  скорость монетки, тогда

f1.3

Момент времени, когда векторы r и ν перпендикулярны, найдём из условия равенства нулю их скалярного произведения:

f1.4

Проекция вектора ν₀  на ось, направленную вертикально вверх, равна ν₁, поэтому

f1.5

По теореме Пифагора

f1.6

Получаем уравнение на t

f1.7

Аналогичное  уравнение  можно  получить  аналитически.  Расстояние  между монеткой и точкой броска будет меняться со временем по закону

f1.8

Расстояние r будет максимально тогда, когда максимален квадрат расстояния r². Продифференцировав выражение для r² по времени, и приравняв производную к нулю,  получим  уравнение (такое  же,  как  и  из  условия  перпендикулярности векторов скорости и смещения)

f1.9

решение  t = 0  соответствует  минимуму  функции  r²(t).  Поскольку  мы  ищем максимум, то уравнение можно сократить на  t. Получим квадратное уравнение

f1.10

решив которое, найдём что расстояние максимально в момент времени

f1.11

Второй  корень  квадратного  уравнения  рассматривать  не  нужно,  поскольку  он больше 1 с (то  есть  соответствует  моменту  времени  после  того,  как  мальчик поймал  монетку). Максимальное  расстояние  между  монеткой  и  точкой  броска

r(t_m) ≈ 1,09 м.

Из  закона  сложения  скоростей  получаем,  что  в  системе  отсчёта,  связанной  со стенами  шахты  эскалатора,  вертикальная  составляющая  начальной  скорости монетки равна:  g(τ/2) – V∙sinα. Тогда

f1.12

Ответ: t = 0,45 с

Критерии оценивания

Задача 2

Льдинка  с  вмороженным  в  неё  металлическим  слитком  подвешена  на  лёгкой  нити  и  частично  погружена  в  цилиндрический  стакан  с  водой  так, что лёд не касается  стенок  стакана.  Площадь  дна  стакана  S = 100 см² .  Для  того,  чтобы  удержать льдинку в таком положении, нить перекидывают через  идеальный  блок,  к  оси  которого  прикладывают  вертикально  направленную  силу  F = 10 Н.  На  другой  конец  нити  вешают  подходящий  противовес. На  сколько  изменится  уровень  воды  в  стакане  после  того,  как  льдинка  растает?  Повысится  он  или  понизится?  Масса  слитка  m = 100 г,  плотность  металла  ρ = 10 000 кг/м³ ,  плотность  воды  ρ₀ = 1000 кг/м³.  Ускорение свободного  падения  можно  считать  равным  g = 10  м/с ² .  Противовес  после  таяния льда не падает в стакан.

Возможное решение

Рассмотрим  внешние  силы,  действующие  на  содержимое  стакана,  в  которое  включим  воду,  льдинку  и  слиток.  Сила  тяжести  компенсируется  двумя  направленными  вверх  внешними  силами  –  силой  натяжения  нити  F/2  и  силой  реакции дна стакана. Последняя, в свою очередь, равна по модулю силе давления  на  дно  со  стороны  жидкости.  Из  условия  равновесия  содержимого  стакана  в исходном состоянии следует:

f2.1

где h₁ – высота уровня воды в исходном состоянии.

После  таяния  льдинки масса  содержимого  сохраняется,  но  изменяется  уровень воды  в  стакане  и,  следовательно,  давление  воды  около  дна.  Кроме  этого,  на содержимое  перестаёт  действовать  сила  F/2,  но  на  дно  с  силой

f2.2

начинает  действовать  слиток.  Новое  условие равновесия содержимого имеет вид:

S∙ρ₀∙g∙h₂ + N = m_содерж∙g

где h₁ – высота уровня воды в исходном состоянии.

Вычитая  из первого  уравнения  второе, получим  выражение  для изменения уровня воды в стакане:

f2.3

Так как эта величина положительная, то уровень воды в стакане повысится.

Критерии оценивания

Задача 3

Один моль аргона участвует в процессе, в ходе которого теплоёмкость остаётся постоянной и равной C =10 Дж/К. При этом аргон увеличил свой объём, совершив работу  A = 40  Дж.  Найдите  изменение  температуры  аргона  и  подведённое к нему количество теплоты.

 Возможное решение

Запишем для данного процесса первое начало термодинамики:

f3.1

т. е. газ охлаждался. Подведённое к газу количество теплоты равно:

Q = C∙∆T = – 162 Дж,

т. е. газ в данном процессе отдавал теплоту.

Критерии оценивания

Задача 4

Электрическая цепь представляет собой проволочную сетку, состоящую из звеньев, имеющих одинаковые сопротивления R.

Одно  звено  заменено на вольтметр, сопротивление которого тоже  равно  R.  К  сетке  подключён  источник  напряжения U₀ = 14 В  так,  как  показано  на  рисунке. Найдите  показание вольтметра.

Возможное решение

Изобразим  схематически  токи,  текущие  в  звеньях сетки, учитывая её симметрию и закон Ома для участка цепи.  Согласно  этому  закону,  силы  тока  в параллельных  звеньях,  находящихся  под  одинаковым  напряжением,  обратно  пропорциональны  сопротивлениям  этих звеньев.  При  изображении  токов  также  нужно учитывать закон сохранения электрического заряда для узлов  сетки –  сумма  токов,  втекающих  в узел, должна быть равна сумме токов, вытекающих из узла.

Точки  подключения  источника  напряжения  расположены  на  вертикальной  оси симметрии  сетки. Поэтому  токи,  текущие  налево  и  направо  от  оси  симметрии сетки, вытекающие из данного узла или втекающие в данный узел, должны быть одинаковыми. Обозначим токи, текущие налево и направо от верхнего среднего узла сетки, через  I. Тогда ток, втекающий в верхний средний узел, равен 2I. При обходе левой (и правой) верхней четверти сетки суммарное падение напряжения должно  быть  равно  нулю.  Следовательно,  токи,  текущие  налево  и  направо  от центрального узла сетки, одинаковы и равны 4I. Значит, токи, текущие вниз от левого среднего и от правого среднего узла сетки, равны 5I.

Выразим  напряжение  источника  U₀  через  ток  I.  Для  того  чтобы  сделать  это, мысленно  сложим  схему  пополам  вдоль  вертикальной  оси  симметрии.  Тогда сопротивления всех звеньев, не лежащих на оси симметрии, уменьшатся в 2 раза, а  текущие  по  ним  токи  увеличатся  в 2  раза.  Суммарное  сопротивление  всех звеньев,  подключённых  к  источнику (за  исключением  звена,  находящегося непосредственно  между  клеммами  источника),  равно 7R/5.  Текущий  через  эти звенья  ток  равен 10I.  Поэтому  падение  напряжения  во  внешней  цепи  между клеммами источника равно U₀ = 14IR. Отметим, что это заодно позволяет найти ток,  текущий  через  звено между  точками подключения источника напряжения.

Он равен 14 I и течёт от центрального узла сетки к нижнему среднему узлу.

Для вольтметра можно записать:  U_v = 4∙IR.

Отсюда U_v = 4∙U₀ / 14 = 2∙U₀ / 7 = 4В.

Ответ: U_v = 4В

Критерии оценивания

Задача 5

Электрическая цепь состоит из соединённых последовательно  идеального  источника  напряжения  с  ЭДС E = 12 В,  резистора,  разомкнутого  ключа и  заряженного до напряжения 2∙E конденсатора (полярность указана на схеме).  Ключ  замыкают.

r5.1

Определите  напряжение  U  на конденсаторе  в  тот  момент,  когда  количество  теплоты,  выделившееся в резисторе, окажется в 3 раза меньше энергии, оставшейся в конденсаторе.

Возможное решение

Полярность  зарядки  конденсатора  всегда  останется  такой  же,  какой  она  была вначале.  Поскольку  исходное  напряжение  на  конденсаторе  превышает  ЭДС источника,  то  после  замыкания  ключа  ток  в  цепи  потечёт  против  часовой стрелки.  К  интересующему  нас  моменту  времени  заряд,  протекший  через источник (и подзарядивший его), равен  q = C∙(2E – U) . Запишем закон сохранения энергии  с  учётом  выделившегося  количества  теплоты  и  работы,  совершённой источником:

f5.1

Отсюда,  с  учётом  того,  что

f5.2

получим:

U = 18 В

Ответ: U = 18 В

Критерии оценивания

Общие рекомендации по оцениванию работы